Relation: Äquivalenzklasse in Z

Question

Aufgabe: Gib auf drei verschiedenen Wegen die Äquivalenzklasse für ℤ von a= - 7 an. Weise nach, dass es sich um die gleiche Äquivalenzklasse und Zahl handelt.

Problem/Ansatz:
Ich hätte mit Definition der Äquivalenzrelation (m₁, n₁) ∼ (m₂, n₂) :⇔ m₁ + n₂ = m₂ + n₁ für alle m₁, m₂, n₁, n₂ ∈ℕ gerechnet. Das geht leider nicht, weil mir das b fehlt. Jetzt habe ich keinen Ansatz.

Comments

Du sprichst in der "Aufgabe" von Äquivalenzklassen in Z, in "Problem" gibst Du eine Relation auf N^2 an. Das passt nicht. Also: Wie lautet die Aufgabe vollständig?

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Also: Wie lautet die Aufgabe vollständig?

Es geht um die Standardkonstruktion \( \mathbb Z := \mathbb N\times \mathbb N/\sim \) mit

$$ (a,b) \sim (c,d)\kern0.5em {:\kern-0.5em\iff}~ a+d = b+c $$

Man soll jetzt für das Objekt \( -7 \in \mathbb Z \) 3 Vertreter angeben.

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Das geht leider nicht, weil mir das b fehlt. Jetzt habe ich keinen Ansatz.

Dir fehlt das b nicht. Deine Aufgabe ist es das Objekt "-7" als Restklasse anzugeben. Da ich mir unsicher bin, ob die Intuition hinter der Konstruktion klar ist, hier eine kleine Erklärung:

Wenn wir die obige Definition shady umformen erhalten wir:

$$ (a,b) \sim (c,d)\kern0.5em {:\kern-0.5em\iff}~ a+d = b+c \iff a-b = c-d$$

Zwei Tupel sind also äquivalent, wenn die "Differenz" ihrer beiden Elemente übereinstimmen. Und man ordnet dann praktisch der Restklasse eines solchen Tupels den Wert dieser "Differenz" zu. Differenz ist hier in Anführungszeichen, weil in \( (\mathbb N,+) \) a priori keine Subtraktion und additiv Inversen existieren.

Mit diesem Bild ist das eig alles nicht mehr schwer. Die ganze Zahl 7 hat z.B. die Darstellungen $$ 7 \hat= [(7,0)] = [(8,1)] = [(9,2)] = \dotsm $$ Das wirkt auf den ersten Blick super unnötig und kompliziert, weil die Zahl 7 ja schon irgendwie in \( \mathbb N \) existiert hat. Aber man kann mit der Konstruktion jetzt auch negative Zahlen darstellen $$ -7 \hat= [(0,7)] = \dotsm $$ Versuch mal weitere Vertreter selbst zu finden.

Mit \( [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+b,c+d)] \) erhält man dann die additive Gruppe der ganzen Zahlen. Bsp.

$$ 7 + (-7) \hat = [(7,0)] + [(0,7)] = [(7,7)] = [(0,0)] \hat= 0 $$

Answer 1

1. Äquivalenzklasse als Verschiebung:

\( [-7]=\{-7+k \mid k \in \mathbb{Z}\} \)

- Jede Zahl in dieser Menge ist äquivalent zu - 7 , da sie sich nur um eine ganze Zahl \( k \) unterscheidet.

2. Äquivalenzklasse modulo 1:

\( [-7]=\mathbb{Z} \)

- Alle ganzen Zahlen sind äquivalent zu -7 , weil \( x \equiv-7(\bmod 1) \) für alle \( x \in \mathbb{Z} \) gilt.

3. Äquivalenzklasse durch Betrag:

\( [-7]=\{-7,7\} \)

- -7 und 7 sind äquivalent, da sie denselben Betrag \( |x|=7 \) haben.

Comments

Für \( a=-7 \) und \( n=5 \) :

1. Parameterform :

\( [-7]_{5}=\{-7+5 k \mid k \in \mathbb{Z}\}=\{\ldots,-12,-7,-2,3,8, \ldots\} \)

2. Kongruenzbedingung:

\( [-7]_{5}=\{b \in \mathbb{Z} \mid b \equiv-7(\bmod 5)\}=\{b \mid b \equiv 3(\bmod 5)\} \)

3. Repräsentantensystem :

Der Rest von -7 modulo 5 ist 3 , also \( [-7]_{5}=[3]_{5} \).

Alle drei Definitionen beschreiben die gleiche Menge:

\( [-7]_{5}=[3]_{5}=\{\ldots,-12,-7,-2,3,8, \ldots\} \)

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Text erkannt:

Aufgabe 2
a) Gebe auf 3. Wege die Áquivalenzblasse für \( \mathbb{Z} \) von \( a=-7 \) an
(1) Standardkonstruktion von 4 aus iN \( \times \mathbb{N} \)
\( \begin{aligned} \mathbb{Z}:=\mathbb{N} \times \mathbb{N} / \sim \operatorname{mit} & (a, b) \sim(c, d): \\ & \Leftrightarrow a+d=b+c \\ & \Leftrightarrow a-b=c-d \end{aligned} \)

Für -7 wählen wir \( (0,-7) \)
\( 0-7=-7 \)

Wählen wir andere Paare die auch in der Selben Äqivalenzklasse, z. B:
- \( (3,10) \) mit \( 3-10=-7 \)
- \( (5,12) \) mit \( 5-12=-7 \)

So gilt \( a+d=b+c \Leftrightarrow a-b=c-d \), da sie zur selben Äquivalenzklasse gehören

Text erkannt:

(2) Wir betrachten die Āquivalenz relation \( \bmod \mathbb{N} \), wobei awei zahlen \( x \) und y äquivalent sind, wenn sie den glechen Rest bei division haben

Wählen wir \( \mathbb{N}=1 \) dann gilt für alle ganae zahlen \( x \in \mathbb{Z} \)
\( x \equiv-7 \quad(\bmod 1) \)
da jede ganze zahl den Rest 0 bei division hat
(3) Âquivalent durch Betrag
- awei zahlen äquivalent wenn sie denselben Betrag haben
\( |-7|=7 \quad, \text { also } \quad[-7]=\{-7,7\} \)
weil sie den selben betrag (7) haben.

Habe ich das richtig verstanden ?

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(1) Standardkonstruktion von \( \mathbb{Z} \) aus \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)

Du hast die Äquivalenzrelation \( (a, b) \sim(c, d) \) korrekt beschrieben:
\( (a, b) \sim(c, d) \quad \Leftrightarrow \quad a+d=b+c \quad \Leftrightarrow \quad a-b=c-d . \)

Die ganzen Zahlen \( \mathbb{Z} \) werden dann als Äquivalenzklassen dieser Relation auf \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) definiert. Jede ganze Zahl wird durch eine Äquivalenzklasse repräsentiert, die alle Paare \( (a, b) \) enthält, für die \( a-b \) denselben Wert hat.

Für \( a=-7 \) hast du das Paar \( (0,7) \) gewählt, weil \( 0-7=-7 \). Das ist korrekt. Du hast auch andere Paare wie \( (3,10) \) und \( (5,12) \) angegeben, die ebenfalls in derselben Äquivalenzklasse liegen, da:
\( 3-10=-7 \quad \text { und } \quad 5-12=-7 \)

Korrekte Schlussfolgerung: Die Äquivalenzklasse von -7 ist:
\( [-7]=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a-b=-7\} \)

Das hast du richtig verstanden.

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(2) Äquivalenzrelation modulo \( \mathbb{N} \)

Hier gibt es eine Unklarheit in deiner Formulierung. Du schreibst:
"Wir betrachten die Äquivalenzrelation modN, wobei zwei Zahlen \( x \) und \( y \) äquivalent sind, wenn sie denselben Rest bei Division haben." 
Das ist grundsätzlich korrekt, aber du spezifizierst nicht, welches \( n \in \mathbb{N} \) du für die Modulo-Relation verwendest.
Stattdessen schreibst du:
"Wählen wir \( \mathbb{N}=1 \), dann gilt für alle ganzen Zahlen \( x \in \mathbb{Z}: x \equiv-7(\bmod 1) \), da jede ganze Zahl den Rest 0 bei Division hat." 
Das ist mathematisch korrekt, aber es ist trivial, weil jede Zahl modulo 1 kongruent zu 0 ist. Daher wäre die Äquivalenzklasse von -7 modulo 1 einfach:
\( [-7]_{1}=\mathbb{Z} \)

Das bedeutet, dass alle ganzen Zahlen zur selben Äquivalenzklasse gehören, was zwar korrekt ist, aber keine besonders interessante Aussage darstellt.
Vorschlag für Verbesserung: Wähle stattdessen ein konkretes \( n>1 \), z. B. \( n=5 \), um eine sinnvollere Äquivalenzklasse zu erhalten. Dann wäre die Äquivalenzklasse von -7 modulo 5:
\( [-7]_{5}=\{\ldots,-12,-7,-2,3,8, \ldots\} \)

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(3) Äquivalenz durch Betrag

Du definierst eine Äquivalenzrelation, bei der zwei Zahlen äquivalent sind, wenn sie denselben Betrag haben. Das ist korrekt, und die Äquivalenzklasse von -7 wäre:
\( [-7]=\{-7,7\} \)
\( \mathrm{da}|-7|=|7|=7 \).
Korrekte Schlussfolgerung: Die Äquivalenzklasse von -7 bezüglich der Betragsrelation ist:
\( [-7]=\{-7,7\} \text {. } \)

Das hast du richtig verstanden.

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zu (2): Warum wählen wir für n= 5?

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Die Wahl von \( n=5 \) war rein exemplarisch, um die Idee der Restklassen und der Kongruenzrelation zu verdeutlichen. Die zugrundeliegenden Prinzipien gelten für jedes \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n>1 \). Wenn in der Aufgabenstellung kein spezielles \( n \) vorgegeben ist, kannst du \( \boldsymbol{n} \) frei wählen, um die Konzepte zu illustrieren.