Also: Wie lautet die Aufgabe vollständig?
Es geht um die Standardkonstruktion \( \mathbb Z := \mathbb N\times \mathbb N/\sim \) mit
$$ (a,b) \sim (c,d)\kern0.5em {:\kern-0.5em\iff}~ a+d = b+c $$
Man soll jetzt für das Objekt \( -7 \in \mathbb Z \) 3 Vertreter angeben.
---
Das geht leider nicht, weil mir das b fehlt. Jetzt habe ich keinen Ansatz.
Dir fehlt das b nicht. Deine Aufgabe ist es das Objekt "-7" als Restklasse anzugeben. Da ich mir unsicher bin, ob die Intuition hinter der Konstruktion klar ist, hier eine kleine Erklärung:
Wenn wir die obige Definition shady umformen erhalten wir:
$$ (a,b) \sim (c,d)\kern0.5em {:\kern-0.5em\iff}~ a+d = b+c \iff a-b = c-d$$
Zwei Tupel sind also äquivalent, wenn die "Differenz" ihrer beiden Elemente übereinstimmen. Und man ordnet dann praktisch der Restklasse eines solchen Tupels den Wert dieser "Differenz" zu. Differenz ist hier in Anführungszeichen, weil in \( (\mathbb N,+) \) a priori keine Subtraktion und additiv Inversen existieren.
Mit diesem Bild ist das eig alles nicht mehr schwer. Die ganze Zahl 7 hat z.B. die Darstellungen $$ 7 \hat= [(7,0)] = [(8,1)] = [(9,2)] = \dotsm $$ Das wirkt auf den ersten Blick super unnötig und kompliziert, weil die Zahl 7 ja schon irgendwie in \( \mathbb N \) existiert hat. Aber man kann mit der Konstruktion jetzt auch negative Zahlen darstellen $$ -7 \hat= [(0,7)] = \dotsm $$ Versuch mal weitere Vertreter selbst zu finden.
Mit \( [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+b,c+d)] \) erhält man dann die additive Gruppe der ganzen Zahlen. Bsp.
$$ 7 + (-7) \hat = [(7,0)] + [(0,7)] = [(7,7)] = [(0,0)] \hat= 0 $$
