Äquivalenzklasse zeigen (Cauchyfolgen)

Question

Aufgabe:

Sei C := {(an)n∈N | (an)n∈N ist Cauchy-Folge in Q}.

Zeigen Sie:

1. Durch
(an)n ∼(bn)n ⟺an −bn →0 wird eine Äquivalenzrelation auf C definiert.

2. Es bezeichne [(an)n] die Äquivalenzklasse von (an)n ∈ C. Dann ist φ:C/∼→R, [(an)n]→lim(n→∞) an

eine bijective Abbildung zwischen dem Quotientenraum C/∼ und R, welche Addition
und Mutiplikation (definiert auf C/∼ wie in 8.17) erhält.

Problem/Ansatz:

Könnte mir vielleicht jemand den Aufgabenteil 2. erklären ?

! …

Answer 1

Geht es darum:

welche Addition und Mutiplikation (definiert auf C/∼ wie in 8.17) erhält.

8.17 kennt vermutlich nicht jeder. Ich vermute mal

Addition von solchen Klassen ist so erklärt:

[(an)n] + [(bn)n] = [ (an+bn)n]

Du musst also zeigen: φ([(an)n] + [(bn)n] ) = φ[(an)n]) + φ[(bn)n]

Das ist doch nur die Aussage des Grenzwertsatzes für

Summenfolgen.

Analog für Produkte.