Bijektion zwischen R und Äquivalenzklassen beweisen

Question

Aufgabe:

We consider a surjective function f : R → R. Show that an equivalence relation on R is given by A := {(x, y) ∈ R × R| f (x) = f ( y)} (3 points). (das habe ich schon gemacht)

Ich brauche nur Hilfe bei dieser anderen Aufgabe

Also find a bijection between R and the set of equivalence classes of A (6 points)

Answer 1

Hallo,

die Äquivalenzklassen sind genau die Urbilder von reellen Zahlen unter f, also

$$f^{-1}(\{z\}):=\{x \in \mathbb{R} \mid f(x)=z\}$$

Die vorausgesetzte Surjektivität bewirkt, dass keines dieser Urbilder leer ist.

Wenn wir eine Äquivalenzklasse K für die Relation A haben und \(x \in K\), dann ist \(K=f^{-1}(\{f(x)\})\); denn für ein \(y \in f^{-1}(\{f(x)\})\) ist ja nach Definition des Urbildes \(f(x)=f(y)\) also liegt y mit x in der Klasse K.

Damit ist die gesuchte Bijektion:

$$B:\mathbb{R} \to \text{ÄquivalenKlassen von A}, B(z):=f^{-1}({z})$$

Gruß

Comments

Hallo,

ich habe eine kleine Frage: Für was steht das z bei f^-1 ({z}) ?

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Variable aus R.

Gruß