Aufgabe:
Erinnerung:
- Eine Variante des Auswahlaxiom AA besagt:
AA: Zu einer nicht-leeren Menge \( M \) existiert eine Auswahlfunktion \( h: \mathcal{P}(M) \backslash\{\emptyset\} \rightarrow M \) mit \( h(A) \in A \) filr alle \( A \in \mathcal{P}(M) \backslash\{\emptyset\} \)\( \cdot \)
Seien \( X, Y \) zwei Mengen und \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Man nennt \( g: Y \rightarrow X \) ein Rechtsinverses zu \( f, \) falls \( f \circ g= \) id \( _{Y} \) gilt.
Aufgabe 3.
In dieser Aufgabe betrachten wir ein weiteres Axiom, das Axiom AER:
AER: Zu jeder surjektiven Abbildung existiert ein Rechtsinverses.Wir wollen zeigen, dass das Axiom AER das Auswahlaxiom AA impliziert.
(a) Es sei eine nicht-leere Menge \( M \) gegeben. Wir definieren
\(\mathcal{M}=\{(x, A) \in M \times \mathcal{P}(M) \backslash\{\emptyset\} \mid x \in A\}\)
und betrachten auf \( \mathcal{M} \)
die Relation \( \sim \) definiert durch: \( (x, A) \sim(y, B): \Leftrightarrow A=B . \)
Zeigen Sie, dass \(\sim\) eine Aquivalenzrelation auf \( \mathcal{M} \) ist.
Geben Sie aulerdem eine bijektive Abbildung \( h: \mathcal{M} \sim \rightarrow \mathcal{P}(M) \backslash\{\emptyset\} \) an und zeigen Sie die Bijektivität.
(b) Zeigen Sie nun, dass AER das Auswahlaxiom AA impliziert.
Problem/Ansatz:
Hallo ! Ich habe zeigen können, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Ich habe auch die Intuition, da die Funktion in der Teilaufgabe a) Bijektiv ist, ebenso, da nach AER eine Rechtsinverse existiert, kann man daraus Folgern, dass AER, AA Impliziert.
Nun existiert das Problem diese Bijektive Abbildung zu finden, ebenso wie man zeigen kann, dass diese Bijektiv ist.
Danke für die Hilfe im Voraus.
