Cauchyfolgen und immer größer werdende Intervalle. Wie soll das funktionieren?

Question

Hey Leute,

ich bin gerade am Rätseln wie ich die folgende Aufgabe lösen soll.

Aufgabe:

Zeigen Sie durch Angabe eines Beispiels, dass es Cauchyfolgen (a_n) in ℝ gibt, die das in a) gegebene Kriterium verletzen.

Das bedeutet, dass es eine Cauchyfolge gibt, für die kein 0 < q < 1 mit |a_n+2 − a_n+1| ≤ q |a_n+1 − a_n| für alle n ∈ ℕ.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe bisher so verstanden, dass ich ein Cauchyfolge finden soll, sodass die Differenz zweier Folgeglieder immer größer oder gleich der Differenz der Folgeglieder davor ist. Gleich, weil q kleiner ist als 1 und die Ungleichung somit erfüllt wäre. Dafür habe ich die Aussage mal in Quantoren umformuliert:

$$\exists ({a}_{n}) \subset \mathbb{R} : \forall n \in \mathbb{N} : \forall q \in (0,1) : q \mid {a}_{n+1} - {a}_{n} \mid < \mid a_{n+2} - a_{n+1} \mid$$

Über jegliche Hilfe würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Cauchyfolgen können ja am Anfang die ersten n Glieder beliebig haben und müssen erst ab einem N die Bedingungen  für alle n erfüllen. Damit ist leicht eine solche Folge zu finden.

lul

Comments

Mmmh, also ich habe die Aufgabe so verstanden, dass der Abstand eines folgenden Intervalls immer größer sein soll als das davor und das für alle n. Gleichzeitig ist eine Cauchy-Folge doch dadurch definiert, dass sich die Intervalle mit größer werdendem n immer mehr verkleinern. Oder habe ich die Aufgabe irgendwie falsch verstanden ? :/

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Das hast du gründlich falsch gesehen da stand doch von dir selbst:

0 < q < 1 mit |an+2 − an+1| ≤ q |an+1 − an| also die folgende Differenz ist um den Faktor q kleiner als die davor wenn man weiter geht bis a^n+k

hat man dann den Faktor q^k und kann mit der geometrischen Reihe vergleichen. nur das "für ALLE n" ist falsch, weil es auf den Anfang nicht ankommt.

steht in a) wirklich für alle n?

Gruß lul

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Das Kriterium, von dem in der Aufgabe die Rede ist, macht eine Aussage über aufeinanderfolgende Differenzen (genauer : deren Betrag) benachbarter Folgenglieder und besagt, dass wenn diese Differenzen von einem gewissen N ab geometrisch abnehmen und zwar mit einem Faktor q<1, dass es sich dann um eine Cauchy-Folge handelt.
Dieses ist ein hinreichendes Kriterium aber - und das soll durch ein Beispiel belegt werden - kein notwendiges.

Wohlgemerkt : Es geht nicht darum, dass eine nicht-geometrische Abnahme (und selbst wenn die Differenzen-Folge auch gegen 0 konvergiert) eine Nicht-Cauchy-Folge nach sich ziehen würde, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zu suggerieren vermag, sondern es geht darum, eine Folge zu finden, die zwar obige Bedingung verletzt, aber dennoch Cauchy-Folge ist - und hier bin ich im Gegensatz zu lul der Auffassung, dass die Verletzung nicht nur am Anfang der Folge sondern immer mal wieder passieren muss um als Gegenbeispiel akzeptiert zu werden.

"Keine geometrische Abnahme" bedeutet natürlich nicht, dass die Differenzen etwa immer größer werden müssten - dann wäre es ja gewiss keine Cauchy-Folge mehr - sondern es bedeutet, dass es kein q und kein N gibt, so dass sich diese speziellen Differenzen zwischen benachbarten Folgegliedern von N ab immer durch die obige Ungleichung abschätzen lassen.

Answer 2

Betrachte die Folge \(a_n:=1/n\). Sie ist konvergent, also Cauchy-Folge. Man berechnet

$$\frac{|a_{n+2}-a_{n+1}|}{|a_{n+1}-a_n|}=\frac{n(n+1)}{(n+2)(n+1)} \to1$$

Also lässt sich dieser Quotient nicht nach oben durch ein \(q<1\) abschätzen.