Zeigen Sie, dass (an)n∈ℕ eine Cauchyfolge ist

Question

Aufgabe:

Sei 0 ≤ q < 1, c ≥ 0 und (an)_n∈ℕ  eine Folge mit

|a_n+1 −a_n| ≤ cqⁿ ∀n∈ℕ.

Zeigen Sie, dass (an)_n∈ℕ eine Cauchyfolge ist.

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Definition einer Cauchy-Folge, allerdings verstehe ich nicht ganz, wie ich das hier zeigen soll.

Answer 1

Für nat. \(p\geq 1\) gilt

\(|a_{n+p}-a_n|=|\sum_{k=0}^{p-1} (a_{n+k+1}-a_{n+k})|\leq \sum_{k=0}^{p-1}|a_{n+k+1}-a_{n+k}|\leq\)

\(\sum_{k=0}^{p-1} cq^{n+k}=cq^n\cdot \sum_{k=0}^{p-1} q^k\leq cq^n\cdot \sum_{k=0}^{\infty} q^k=cq^n\cdot \frac{1}{1-q}\).

Der rechte Ausdruck ist eine Nullfolge, die nicht von \(p\) abhängt.

Damit ist \(a_n\) eine Cauchy-Folge.