Fourierreihe unsymmetrisches Intervall

Question

Ich hätte da eine Frage zu den Fouroerreihen. Grundsätzlich ist mir die gesamte geometrische Interpretation also auch die Herleitung der Gleichungen klar, jedoch ist mir immer noch nicht klar Funktionen in einem unsymetrsichen Intervall zu aproximierne, wenn diese weder gerade noch ungerade sind.

Zb f(x) = 3-x

Im Intervall [0,3]

Diese Funktion ist weder gerade noch ungerade.

Ein Lösungsweg von mir währe es ein symmetrisches Intervall zu wählen und diese in diesem zu approximieren, aber 3 wäre in diesem nicht einhalten.

Kann mir das jemand etwas erklären?

Comments

Hallo,

Deine Frage ist etwas schwer zu beantworten.

Es gibt keine unsymmetrischen Intervalle. Jedes Intervall ist symmetrisch zu seinem Mittelpunkt. Meinst Du vielleicht, dass das Intervall den Nullpunkt als Mittelpunkt haben sollte?

Die Formeln für die Fourier-Entwicklung gelten nicht nur für gerade oder ungerade Funktionen, sondern für (insoweit) beliebige. Im allgmeinen muss eben Koeffizienten für sin und cos berechnen.

Grundsätzlich gilt eine Fourier-Entwicklung für die auf ganz R periodisch fortgesetzte Funktion.

Du musst jetzt in Deinem Skript nachschlagen, was Du tun musst: Habt Ihr die F-Entwicklung für ein beliebiges Intervall definiert oder nur für ein Standard-Intervall?

Gruß Mathhilf

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Hallo, danke für deine Antwort.

Ja, wie haben die Entwicklung für ein symmetrisches Intervall (-a,a) mit a eine beliebige Reelle Zahl.

Jedoch soll ja beim Bsp die Funktion zwischen 0 und 3 approximiert werden

Die Approximation zwischen -π und π ist mir klar und habe ich bereits gemacht, jedoch wenn jetzt t explizit zwischen 0 und 3 gefragt wird, ist das möglich?

Eigentlich nicht, oder?

Answer 1

Ich habe Deine Funktion als Fourierreihe dargestellt. Wie man sieht approximiert die Fourierreihe die Funktion \( f(x) = 3 - x \) schon einigermaßen gut auf dem Intervall \( [ -\pi , +\pi ] \) Danach und davor wird die periodische Fortsetzung von \( f(x) \) approximiert.

Hilft Dir das bei der Beantwortung Deiner Frage?

Ich weiss nämlich nicht, was Du unter einem sysmetrischen Intervall verstehst.

Comments

Das ist falsch. Du hast die Funktion f(x)=3-x auf dem Intervall \([-\pi,\pi]\) approximiert.

Die Periodenlänge in der Aufgabe ist 3. Die Forsetzung auf ein Intervall um den Nullpunkt wäre

$$f(x):=-x, x \in [-1.5,0] \qquad f(x)=3-x,x \in [0,1.5]$$

Gruß Mathhilf

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Woher nimmst Du Deine Erkenntnisse aus der Aufgabenstellung und was soll ein symterisches Intervall sein? Eine Approximation auf dem Intervall \( [-\pi , \pi ] \) ist auch eine auf dem Intervall \( [0 , 3 ] \) oder nicht?

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Wenn im Kontext von Fourierentwicklung eine Funktion auf einem Intervall der Länge T definiert ist, geht man in der Regel davon aus, dass dies die Periodenlänge sein soll und die Funktion mit dieser Periode fortgesetzt wird.

Gruß Mathhilf

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Deine periodische Fortsetzung erschliesst sich mir nicht. Ich hätte es so gemacht.

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Deine periodische Fortsetzung erschliesst sich mir nicht. Ich hätte es so gemacht.

Du hast es genauso gemacht, wie ich gesagt habe. Deine "rote" Funktion ist die angegebene - fortgesetzt. Über welches Intervall man die Fourier-koeffizienten ausrechnet, ist  egal, solange es die volle Perioden-Länge umfasst und die richtige Fortsetzung verwendet.

Gruß Mathhilf

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Aber Deine periodische Fortsetzung sieht anders aus als meine.

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Welcher Wert ist bei Dir anders als bei mir im Intervall [-1.5,1.5]?