Aufgabe: Nr.3 a)
Ist das so richtig gelöst ?
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
3. Aufgabe
(16 Punkte)
Es sei \( f:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \in[0, \pi), \\ 1, & x \in[\pi, 2 \pi] .\end{array}\right. \)
(a) Bestimmen Sie die Fourierreihe von \( f \).
(b) Geben Sie an, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Fourierreihe aus (a) eine konvergente Reihe ist und bestimmen Sie für alle diese \( x \) den Reihenwert.
Text erkannt:
\( \begin{array}{l} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x \in[0, \pi), \\ 1, & x \in[\pi, 2 \pi] \end{array}\right. \end{array} \)
Skizze:
\( \begin{array}{l} f(x)=f(-x) \\ 1 \neq-1 \\ \Rightarrow \text { nicht gerade } \end{array} \)
\( \begin{aligned} f|x| & =-f(-x \mid \\ 1 & =-|-1| \end{aligned} \)
\( 1=1 \Rightarrow \) ungerade \( \Rightarrow a_{n}=0 \)
\( b_{n}=\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (n x) d x \)
\( b_{n}=\frac{2}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} 1 \cdot \sin (n x) d x \)
\( b_{n}=\frac{2}{\pi} \int \limits_{\pi}^{2 \pi} \sin (n x) d x \)
\( b_{n}=-\frac{2 \cdot \cos (2 \pi n)}{\pi n}+\frac{2 \cos (\pi n)}{\pi n} \)
\( \Rightarrow \) Fourier - Reine :
\( \begin{aligned} F f(x) & =\sum \limits_{n=1}^{\infty} b n \sin (n x) \\ & \left.=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left\lvert\,-\frac{2 \cos (2 \pi n)}{\pi n}+\frac{2 \cos (\pi n)}{\pi n}\right.\right) \sin (n x) \end{aligned} \)
