Fourierreihe für f(x) = x ^{2}

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sei die Fourierreihe für \( f(x) = x^2 \) und zeigen Sie, dass \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6} \) es gilt

Ich bin ein bisschen überfordert wie ich das bederechnen soll.

Also ich weiß das wir die Funktion auf dem Intervall \( [-\pi, \pi]\) betrachten müssen, da \( f(x) \) eine periodische Funktion mit Periode \( 2\pi \) ist.

Und wir haben halt die Fourierreihe gegeben

Muss ich mit diesen werten

\( a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \)

\( a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \)

\( b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \)

arbeiten? Weil wenn ja , weiß ich trotzdem irgendwie nicht wie ich weiter rechnen soll

Comments

da \( f(x) \) eine periodische Funktion mit Periode \( 2\pi \) ist.

Die Funktion f(x)=x² ist keine periodische Funktion.

Answer 1

In der Aufgabe selbst steht kein Intervall gegeben. Anscheinend weißt Du aber irgendwoher, dass \([-\pi,\pi]\) verwendet werden soll. Dann mach das. Du bestimmst dann die Fourierreihe von \(f(x)\) für \(x\in [-\pi,\pi]\), das außerhalb dieses Intervalls \(2\pi\)-periodisch fortgesetzt ist.

Und ja, Du musst mit den von Dir schon genannten \(a_0,a_n,b_n\) arbeiten (Formeln stimmen). Also rechne die Integrale aus. Danach baue die FR damit zusammen. Dann sehen wir weiter.