a) Seien \( a_{0}, a_{k}, b_{k} \) die Fourierkoeffizienten einer \( T \)-periodischen und stetig differenzierbaren Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Wir bezeichnen mit \( a_{0}^{\prime}, a_{k}^{\prime}, b_{k}^{\prime}, k \in \mathbb{N} \) die Fourierkoeffizienten der Ableitung \( f^{\prime}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Zeigen Sie für \( k \in \mathbb{N} \) :
\( a_{0}^{\prime}=0, \quad a_{k}^{\prime}=k \omega b_{k}, \quad b_{k}^{\prime}=-k \omega a_{k}, \quad \omega=\frac{2 \pi}{T} . \)
b) Bestimmen Sie die Fourierreihe von \( f:\left[0,2 \pi\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right. \) mit \( f(t)=2 \pi t-t^{2} \).
