Aloha :)
Die Funktion$$f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\,,\,f(x;y;z)=e^{x^2-y^2}+xz^2$$ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig partiell differenzierbar.
$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\partial_xf\\\partial_yf\\\partial_zf\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2xe^{x^2-y^2}+z^2\\[1ex]-2ye^{x^2-y^2}\\[1ex]2xz\end{pmatrix}$$
Da die Hesse-Matrix symmetrisch ist, brauchen wir nur die obere oder untere Dreiecksmatrix tatsächlich zu berechnen und können die fehlenden Einträge symmetrisch eintragen:$$H_f(x;y)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}(\partial_x f)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_y f)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_z f)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(4x^2+2)e^{x^2-y^2} & -4xye^{x^2-y^2} & 2z\\[1ex]-4xye^{x^2-y^2} & (4y^2-2)e^{x^2-y^2} & 0\\[1ex]2z & 0 & 2x \end{pmatrix}$$
Die Funktion$$g\colon\mathbb R^{>0}\times\mathbb R\to\mathbb R\,,\,g(x;y)=\cos(3xy-\pi)+x^y-\pi=-\cos(3xy)+x^y-\pi$$hat einen limitierten Definitionsbereich, da \(x^y=e^{y\ln(x)}\) nur für \(x>0\) definiert ist. In diesem Definitionsbereich ist die Funktion \(g\) stetig partiell differenzierbar.
$$\operatorname{grad}g(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_xg\\\partial_yg\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3y\sin(3xy)+yx^{y-1}\\[1ex]3x\sin(3xy)+x^y\ln(x)\end{pmatrix}$$
$$H_g(x;y)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}(\partial_x g)\\[1ex]\operatorname{grad}(\partial_y g)\end{pmatrix}=\cdots$$
Die Freude am Ausrechnen der zweiten Hesse-Matrix möchte ich dir nicht nehmen. Die Ableitungen sind nicht schwierig, aber viel Tipparbeit.
