Aloha :)
Wir betrachten die Funktion \(f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R\) mit$$f(x;y;z)=x^3+y^2+z^2+6xy+2z$$
zu a) Gradient und Hesse-Matrix bestimmen:$$\operatorname{grad} f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x^2+6y\\2y+6x\\2z+2\end{pmatrix}\quad;\quad H(x;y;z)=\begin{pmatrix}6x & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$
zu b) Bestimmung der kritischen Punkte:$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}3x^2+6y\\2y+6x\\2z+2\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{x^2}{2}\\y=-3x\\z=-1\end{array}\right.$$Wegen \(\left(-\frac{x^2}{2}=-3x\right)\) bzw. \(\left(0=\frac{x^2}{2}-3x=3x(\frac x6-1)\right)\) ist \(x=0\) oder \(x=6\) und wir erhalten 2 kritische Punkte:$$K_1\left(0|0|-1\right)\quad;\quad K_2\left(6|-18|-1\right)$$
zu c) Bestimmung der Art der Extrema$$H_1(0|0|-1)=\begin{pmatrix}0 & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\stackrel{(\ast)}{\implies} \tilde H=\begin{pmatrix}2 & 6 & 0\\6 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\implies M_1=2\;;\;M_2=-34$$
In \((\ast)\) habe ich die erste und zweite Zeile und zugleich die erste und zweite Spalte vertauscht. Das lässt die Eigenwerte der Hesse-Matrix ungeändert. Nun haben aber der erste und zweite Hauptminor unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Hesse-Matrix indefinit ist. Bei \(K_1\) liegt also ein Sattelpunkt vor.
$$H_2(6|-18|-1)=\begin{pmatrix}36 & 6 & 0\\6 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\implies M_1=36\;;\;M_2=60\;;\;M_3=72$$
Alle Hauptminoren sind positiv, also ist die Hesse-Matrix für \(K_2\) positiv definit. Daher liegt bei \(K_2\) ein Minimum vor.
