Hesse-Matrix der Funktion berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Hesse-Matrix \( H=\operatorname{Hess}(f)(x, y, z) \) von
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z)=e^{2 \cdot x \cdot z}+x^{5} \cdot y \)

Answer 1

Aloha :)

$$f(x,y,z)=e^{2xz}+x^5y$$

Die ersten partiellen Ableitungen man kann direkt hinschreiben:$$\partial_xf(x;y;z)=2ze^{2xz}+5x^4y$$$$\partial_yf(x;y;z)=x^5$$$$\partial_zf(x;y;z)=2xe^{2xz}$$

Die Hesse-Matrix enhält nun die Gradienten als Reihenvektoren:

$$H(x;y;z)=\left(\begin{array}{ccc}4z^2e^{2xz}+20x^3y & 5x^4 & 2e^{2xz}(1+2xz)\\[1ex]5x^4 & 0 & 0\\[1ex]2e^{2xz}(1+2xz) & 0 & 4x^2e^{2xz}\end{array}\right)$$