Beweis (vollständige Induktion)

Question

Aufgabe:

1+ \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) + \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) + ... + \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) < 2\( \sqrt{n} \) ∀n∈ℕ.

Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion.

Answer 1

n=1 ist wohl klar.

Wenn es für n gilt, also \(1+  \frac{1}{\sqrt{2}}  +  \frac{1}{\sqrt{3}}  + \cdots +  \frac{1}{\sqrt{n}} \) < 2\( \sqrt{n} \)

Dann folgt \(1+  \frac{1}{\sqrt{2}}  +  \frac{1}{\sqrt{3}}  + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) < 2\( \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \)

Bleibt zu zeigen: \(   2 \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} <  2\sqrt{n+1} \)

<=>  \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} <  2\sqrt{n+1}  -   2 \sqrt{n}   \)

<=>  \( \frac{1}{2\sqrt{n+1}} <  \sqrt{n+1}  -  \sqrt{n}  \)

mit  \(  \sqrt{n+1}  +  \sqrt{n}  \) erweitern gibt

<=>  \( \frac{1}{2\sqrt{n+1}} <  \frac{ ( \sqrt{n+1}  - \sqrt{n}) \cdot ( \sqrt{n+1}  +  \sqrt{n}  )}{ \sqrt{n+1}  +  \sqrt{n}  } \)

<=>  \( \frac{1}{2\sqrt{n+1}} <  \frac{ 1}{ \sqrt{n+1}  +  \sqrt{n}  } \)

Was offenbar stimmt, da der Nenner links größer ist als rechts.