Aufgabe:
Wahlen Sie aus den folgenden Abbildungen \( d: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) diejenigen aus, die jeweils eine Metrik auf dem \( \mathbb{R}^{3} \) sind.
1- \( d(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { falls } x=y \\ 1, \text { sonst }\end{array}\right. \)
2- \( d(x, y)=\min \left\{\left|x_{i}-y_{i}\right|: i \in\{1,2,3\}\right\} \)
3- \( d(x, y)=\left|x_{1}-y_{1}\right| \)
4- \( d(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { falls } x=y \\ 1+\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{3}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}, \text { sonst }\end{array}\right. \)
5- \( d(x, y)=\sum \limits_{i=1}^{3}\left|x_{i}-y_{i}\right| \)
Wählen Sie unter den folgenden Aussagen jene aus, die für alle stetigen Funktionen zwischen metrischen Räumen wahr sind.
a- Bilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
b- Urbilder offener Mengen sind offen.
c- Bilder kompakter Mengen sind kompakt.
d- Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
e- Bilder offener Mengen sind offen.
f- Urbilder kompakter Mengen sind kompakt.
Ich würde mich über jede Hilfe und Antwort freuen.
Danke im Voraus:)
