Gebe Teilüberdeckung zu den metrischen Räumen mit der Überdeckung Un an.

Question

bin noch etwas unsicher im Umgang mit den folgenden Begriffen und beweisen. Würde mich über jede Hilfe freuen.

Wenn es keine Teilüberdeckung gibt, so beweisen Sie dies:

1.) X:= R und U_n:= (-n,+n) für nEN

2.) X:=[0,1] und U_2n:= (1/(n+1),1), U_2n+1:= (1-1/(6n),1], U₁:= [0, 1/7) für nEN

3.) Sei d≥1 eine natürliche Zahl und X:= B(0,1) ⊂ ℝ^d , der abgeschlossene Einheitsball im ℝ^d in der ||.||₂-Norm. Die offenen Überdeckungen (U_n)_n bestehe aus allen offenen Mengen

{B(x,1/8)∩X|x∈ℚ^d}

Wäre für 1.) eine endliche Teilüberdeckung (0,n)? Für 2. Wäre doch die U₁ eine endliche Teilüberdeckung? und wenn es keine Teilüberdeckung gibt, so muss ich doch über den Widerspruchsbeweis mit Kompaktjeit argumentieren oder?

Answer 1

1.) U₁⊂U₂ ⇒  (U_n)_n≥2 ist Überdeckung von X. Da die Indexmenge jetzt kleiner ist, ist (U_n)_n≥2 eine Teilüberdeckung von (U_n)_n∈ℕ.

Gibt es eine endl. Teilüberdeckung? Nein! Denn wenn es eine gäbe, gäbe es in der Indexmenge ein maximales Element, N.

Damit läge N+1 nicht in der Teilüberdeckung.

2.) U:=U₁ ∪ U₁₄ ∪ U₃ = [0, 1/7) ∪ (1/8, 1) ∪ (5/6, 1] ist eine Überdeckung von X. Da die Indexmenge jetzt kleiner ist, ist U eine Teilüberdeckung von (U_n)_n∈ℕ. Da die indexmenge endlich ist, liegt eine endliche Teilüberdeckung von (U_n)_n∈ℕ vor.

3.) In Aufg. 3 ist der 2. Satz schiefgegangen:

    grammatikalisch richtig heißt es: Die offene Überdeckung ... (kein Plural).

    inhaltlich: Die B's sind leider nicht offen. Beispiel x=-0.9, d=1:

                    B(-0.9, 1/8) ∩ [-1,1] = [-1, 0.9-1/8 )

                    -1 ist kein innerer Punkt. In einer offenen Menge ist aber jeder Punkt innerer

                    Punkt.

                    Es muss richtig heißen: {B(x,1/8)|x∈ℚ^d} , B=offene Kugel mit Radius 1/8.

X:= B(0,1) ⊂ ℝ^d sei der abgeschlossene Einheitsball bzgl. der Euklidnorm.

           _____      Unter B ist ein "Unterstrich" für "abgeschlossen".

Also X = {x∈ℝ^d I \( \sqrt{x^{2}} \) = ≤ 1} =  {x∈ℝ^d I \( \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{d}{x_{i}^{2}}} \) = ≤ 1}

Betrachte die Punkte (a₁,a₂,a₃,...,a_d)∈ℝ^d. a_i ∈ {-1,-0.9,-0.8,...0,0.1,0.2,...,1}  mit i=1(1)d.

Lege um alle diese Punkte offene Kugeln mit Radius 1/8. Damit wird X überdeckt. Da es endlich viele offene Kugeln sind, liegt eine endliche Teilüberdeckung von {B(x,1/8)|x∈ℚ^d} vor.