folgende Aufgabe:
Bei a) weiß ich, dass ich mit der Überdeckungskompaktheit arbeiten muss, mir fehlt aber jeglicher Ansatz, genau so bei c).
Bei b) habe ich wie folgt argumentiert:
Sei f:(M,d)→(M,d) induktiv definiert vermittels f(Kn)=Kn+1 und seien x,y∈M. ⊂
Da Kn+1⊂Kn und da diam(Kn) → 0 für n → ∞, gilt: d(f(x),f(y)) ≤ L• d(x,y) mit 0<L<1.
Per Def. ist diese Funktion Lipschitzstetig und eine Kontraktion. Nach dem Fixpunktsatz existiert somit ein x∈M mit f(x)=x und die induktiv definiert Folge konvergiert für jeden Anfangswert gegen x. Es folgt, dass der Schnitt von allen Kn nur x ist, da diam(Kn) für n gegen unendlich Null ergibt.
Was ich mich noch Frage ist: Für den Fixpunktsatz muss ich ja eine abgeschlossene Teilmenge haben. Die Funktionenfolge (Kn) ist aber ja leider nur beschränkt, aber nicht abgeschlossen. Kann ich die Abgeschlossenheit noch irgendwie beweisen?
Ist das so richtig? Oder komplett falscher Ansatz?
LG
