Folgen in metrischen Räumen Eigenschaften

Question

Es sei $$(X, d)$$ ein metrischer Raum. Zeigen oder widerlegen Sie, dass für alle $$x, y \in X$$ und alle Folgen $$\left(x_{n}\right) \in X^{\mathbb{N}}$$ gilt:

(1) Ist $$x=\lim _{n\rightarrow \infty} x_{n}$$, so gilt $$\lim _{n\rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0$$.

(2) Ist $$\lim _{n\rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0$$, so gilt $$x=\lim _{n\rightarrow \infty} x_{n}$$.

(3) Ist $$x=\lim _{n\rightarrow \infty} x_{n}$$, so gilt $$d(x, y)=\lim _{n\rightarrow \infty} d\left(x_{n}, y\right)$$.

(4) Ist $$d(x, y)=\lim _{n\rightarrow \infty} d\left(x_{n}, y\right)$$, so gilt $$x=\lim _{n\rightarrow \infty} x_{n}$$

Ich habe glaube geschafft 1. und 3. zu beweisen... Stehe bei 2. und 4. aber ein bisschen aufm Schlauch.

Comments

Ist euch bekannt, dass \(d:\;X\times X\rightarrow \mathbb{R}\) stetig ist?

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Ich glaube nicht

Answer 1

Die Dreiecksungleichung für \(d\) liefert

\(d(x',y)\leq d(x',x)+d(x,y)\) und \(d(x,y)\leq d(x,x')+d(x',y)\).

also zusammen: \(|d(x,y)-d(x',y)|\leq d(x,x')\). Für jedes \(y\in X\) ist

damit \(X\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto d(x,y)\) stetig.

Wir können daher das Folgenkriterium der Stetigkeit nutzen :

(1) \(x_n\to x\; \Rightarrow \lim d(x_n,x)=d(\lim x_n,x)=d(x,x)=0\)

(2) \(\lim d(x_n,x)=0\Rightarrow 0=d(x,x)=d(\lim x_n,x)\),

also \(\lim x_n=x\).

(3) \(\lim x_n=x\Rightarrow \lim d(x_n,y)=d(\lim x_n, y)=d(x,y)\)

(4) ist falsch: sei \(y=0, x=-1, x_n=1\) für alle \(n\)

und \(X=\mathbb{R}, \; d(x,y)=|x-y|\)