Welche dieser Funktionen ist stetig?

Question

Aufgabe:

Welche dieser Funktionen ist stetig?
a) \( f: \mathbb{C} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{C} \)
\( z \mapsto \frac{z}{1-z} \)

b) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( x \mapsto 2|x|^{2}+1 \)

c) \( h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { für } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text { für } x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Habe das mit der Stetigkeit leider noch nicht verstanden und brauche Hilfe bei dieser Aufgabe.

Answer 1

a) und b) sind überall auf ihrem Definitionsbereich stetig

und c) nirgendwo.

Comments

danke für deine antwort :)

kannst du mir vielleicht noch bitte kurz erklären wie du das so schnell erkannt hast?

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Die erste ist eine gebrochen rationale Funktion.

Die sind immer stetig auf ihrem ganzen Def.bereich.

Die zweite kannst du auch schreiben als g(x) = 2x^2 +1

denn |x|^2 = x^2. Also ist die ganzrational.

Die 3. ist das klassische Beispiel für

eine Funktion die nirgendwo stetig ist;

denn wenn du eine Stelle x∈ℚ betrachtest, gibt es

etwa die Folge x+√2*   1 / n

die hat nur irrationale Folgenglieder, also

bei allen den Funktionswert 0, aber

der Folgengrenzwert ist x, also rational und dort ist der

Funktionswert 1.

Für \(x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}  \)entsprechend.

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ah okay jetzt verstehe ich

nochmals vielen dank :)