Zeige, dass die Funktion f eine Nullstelle besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler 0,01.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion \( f:[-2,-1] \rightarrow \mathbb{R} \quad \) \( x \mapsto 4 x^{3}+2-2 x^{6} \) eine Nullstelle besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler \( <0,01 \).

Problem/Ansatz:

Wie löst man solche Aufgabentypen? Versteh auch nicht wie die Nullstelle eine Fehlerungenauigkeit haben kann.

Comments

Wie lautet denn die Funktion?

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Eine Ganz Tumme Rechenmaschine (GTR) kann den Sachverhalt anschaulich darstellen (Funktion blau, Definitionsbereich grün, Nullstellen rot):

Answer 1

Zeige, dass die Funktion \( f:[-2,-1] \rightarrow \mathbb{R} \quad \) \( x \mapsto 4 x^{3}+2-2 x^{6} \) eine Nullstelle besitzt

Da sowohl f(-2) als auch f(-1) negativ sind, ist eine Nullstelle in diesem Intervall nicht sofort selbstverständlich.

Also muss es -falls die Behauptung stimmt - in diesem Intervall einen Hochpunkt oberhalb der x-Achse geben.

Berechne also mittels erster Ableitung eine mögliche Extremstelle zwischen -2 und -1 und ermittle den dortigen (hoffentlich positiven) Funktionswert.

Die Betonung liegt auf:

falls die Behauptung stimmt.

Arsinoë4 hat das wesentliche Gegenargument schon vorgebracht.

Answer 2

- 2·x^6 + 4·x^3 + 2 = 0

Subst. x^3 = z

- 2·z^2 + 4·z + 2 = 0 --> z = 1 - √2 ∨ z = √2 + 1

Resubst. x = ³√z

x = -0.7454321246

x = 1.341503762

Comments

ah ja stimmt man kann in diesem fall substituieren.

danke dir :)

wie müsste man vorgehen wenn man nicht substituieren kann?

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Dann könnte man das Newtonverfahren oder ein Intervallschachtelungsverfahren anwenden.

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alles klar vielen dank :)

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Welche der beiden angeblichen Lösungen liegt denn im Definitionsbereich von ƒ ?

Answer 3

Versteh auch nicht wie die Nullstelle eine Fehlerungenauigkeit haben kann.

Die Nullstellen (allerdings nicht im Definitionsbereich) sind:

\(\displaystyle x=-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \approx -0,7454321246472561965628881 \approx -0,7\)

\(\displaystyle x=\sqrt[3]{\sqrt{2}+1} \approx 1,341503762630577719675694 \approx 1,3 \)

Die Zahlen ganz rechts sind nicht "bis auf einen Fehler \( <0,01 \)" dargestellt.

Comments

ah verstehe

danke :)