Der Fehler steckt im Übergang von der 4. Zeile mit den Quadraten zur 5. Zeile, denn dort wird die Wurzel gezogen und das Quadrat einfach entfernt, was nicht korrekt ist.
Erklärung:
Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen Wert, und zwar stets positiv.
Wenn wir jedoch eine Wurzel bei einer Gleichung auf beiden Seiten ziehen wollen, müssen wir neben dem positiven Wert der Lösung auch den negativen Wert berücksichtigen. Dieser Sachverhalt wird Ambiguität (Mehrdeutigkeit) genannt.
Wenn wir also oben in der Aufgabe die Wurzel ziehen, müssen wir ein positives und ein negatives Ergebnis berücksichtigen.
$$ \left( { 5 - \frac { 9 }{ 2 } } \right) ^{ 2 }\ = \left( { 4 - \frac { 9 }{ 2 } } \right) ^{ 2 } \\ \left( { 0,5 } \right) ^{ 2 } = \left( { -0,5 } \right) ^{ 2 } \\ 0,25 = 0,25 \quad \quad \quad | \text{ Quadrieren hebt das Vorzeichen auf } $$
Wir wollen wissen, welche Zahl quadriert 0,25 ergibt:
\( x^2 = 0,25 \quad | \sqrt{ \quad } \)
Für das Aufzeigen der positiven und negativen Lösung der quadratischen Gleichung verwenden wir den Betrag:
\( \sqrt{ x^2 } = | x | = 0,5 \)
und erhalten als Lösungen:
\( x_{1} = +0,5 \\ x_{2} = -0,5 \)
Das Ergebnis ist also +0,5 oder -0,5.
$$ { x }^{ 2 }\quad =\quad { y }^{ 2 }\\ x\quad =\quad \pm 0,5\\ y\quad =\quad \pm 0,5 $$
Mit anderen Worten:
Wenn du die Wurzel ziehst, erhältst du stets als Lösung einen positiven Wert (einen Betrag). Wie du jedoch sehen kannst, ist der eigentliche Wert auf der rechten Seite -0,5 (also negativ).
