Wie berechne ich die Eigenwerte dieser Hesse-Matrix?

Question

ich möchte das Maximum für die Funktion A:D→ℝ, (a,b)↦2\( \sqrt{(4-a)(4-b)(a+b-4)} \)

mit D={(a,b)∈[0,4]² I a+b≥4} bestimmen.

Für den Gradienten habe ich folgendes herausbekommen:

gradA(a,b)=\( \begin{pmatrix} \frac{(b-4)(2*a+b-8)}{\sqrt{(4-a)(4-b)(a+b-4)}}\\\frac{(a-4)(2*b+a-8)}{\sqrt{(4-a)(4-b)(a+b-4)}} \end{pmatrix} \)

Um die weitere Rechnung zu vereinfachen habe ich den Nenner herausgezogen:

\( \frac{1}{\sqrt{(4-a)(4-b)(a+b-4)}} \) *gradA(a,b)=\( \begin{pmatrix} (b-4)(2a+b-8)\\(a-4)(2b+a-8)\\ \end{pmatrix} \)

D.h. meine Hesse-Matrix lautet:

H_f(a,b)=\( \frac{1}{\sqrt{(4-a)(4-b)(a+b-4)}} \) *\( \begin{pmatrix} 2b-8 & 2a+2b-12 \\ 2a+2b-12 & 2a-8 \end{pmatrix} \)

Darf ich das so machen?

Und wenn ja, wie berechne ich dann die Eigenwerte um später sagen zu können, ob es eine negativ definite Matrix ist?

Danke für eure Hilfe

Answer 1

y = √((4 - a)·(4 - b)·(a + b - 4))

Eine Wurzel wird maximal, wenn der Radikand maximal wird

y = (4 - a)·(4 - b)·(a + b - 4)

y = a^2·b - 4·a^2 + a·b^2 - 12·a·b + 32·a - 4·b^2 + 32·b - 64

Gradient

y' = [2·a·b - 8·a + b^2 - 12·b + 32, a^2 + 2·a·b - 12·a - 8·b + 32] = [0, 0]

Als Lösungen erhält man

(a = 8/3 ∧ b = 8/3) ∨ (a = 4 ∧ b = 4) ∨ (a = 4 ∧ b = 0) ∨ (a = 0 ∧ b = 4)

Das einzige Maximum könnte dann wohl bei (a = 8/3 ∧ b = 8/3) sein.

Comments

Warum schreibst du Diskriminante und nicht Radikand?

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Stimmt. Danke für die Verbesserung. Ich war unachtsam. Es muss natürlich Radikand lauten. Diskriminante sagt man zum Radikanden beim Lösen von Gleichungen. Ich verbessere das.

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Danke für die Hilfe:)

Ist es also gar nicht nötig zu beweisen, dass (a=\( \frac{8}{3} ∧ b=\frac{8}{3}\)) tatsächlich ein Maximum ist?

Deswegen wollte ich ja die Hesse-Matrix aufstellen.

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Eigentlich ergibt sich das schon so das es ein Maximum ist weil umliegend die Werte kleiner sind. Also für a = b = 4 eben Null und für a = b = 0 eben sogar negativ. Daher sollte ja auch a + b ≥ 4 gewählt werden. Für a + b = 4 wären das aber auch Null.

Für a = b = 8/3 erhält man also schon mal einen positiven wert, weil alle Faktoren > 0 sind. Tja. Wenn das dann kein Maximum ist was denn dann?

Die Hessematrix aufzustellen wäre aber auch wenn du die Wurzel weglässt hier recht einfach.

f''(a, b) = [2·b - 8, 2·a + 2·b - 12; 2·a + 2·b - 12, 2·a - 8]

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Okay soweit so gut :D

Eine Rückfrage habe ich aber dann doch noch:

Ist es möglich die Eigenwerte von

H_f(a,b)=\( \begin{pmatrix} 2b-8 & 2a+2b-12 \\ 2a+2b-12 & 2a-8 \end{pmatrix} \)  in Abhängigkeit von a und b zu berechnen?

Für das charakteristische Polynom erhalte ich : λ²-(2a+2b-16)λ-(4a²-32a+4b²+4ab-32b+80)

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Das wäre eine quadratische Gleichung und die lässt sich natürlich lösen. Was ist das allerdings für ein Aufwand.

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Oh natürlich, ich habe meinen Denkfehler entdeckt!

Danke;)