Zeigen das die Funktion f(x,y)= sin(x+y) - cos(x-y) unendlich viele Extremstellen hat

Question

folgende Aufgabe macht mir diesmal zu schaffen:

$$ \begin{array}{l}{\text { Zeigen Sie, dass die Funktion } z=f(x, y)=\sin (x+y)+\cos (x-y) \text { unendlich viele }} \\ {\text { Extremstellen hat! }} \\ {\text { Anleitung: Zeigen Sie zunächst, dass der Gradient von } f \text { unendlich viele Nullstellen }} \\ {\text { besitzt. Nutzen Sie dazu die Periodizität der Winkelfunktionen. Ermitteln Sie }} \\ {\text { anschließend die Definitheit der Hessematrix für diese Stellen. }}\end{array} $$

Bisher habe ich den Gradient und die Matrix:



Wie zeige ich nun das der Gradient unendlich viele Nullstellen besitzt? Ich bekomme das umstellen nicht hin. Und wie kann ich die Definitheit ermitteln, da ja nur Winkelfunktionen vorhanden sind? Bei der Definitheit müsste ja "nich definiert" raus kommen, oder?

LG und sonnigen Tag :D

Answer 1

Ohne die hochtrabenden Begriffe "Gradient", "Hesse-Matrix" und "Definitheit" lässt sich die Aufgabe mit grundlegendem Wissen der Klassenstufe 10 lösen.

sin(x+y) kann maximal 1 und minimal -1 werden, gleiches gilt für cos(x−y) .

sin(x+y)+cos(x−y)  kann also maximal 2 werden. Das ist z.B. der Fall, wenn 

x+y=0,5π   und

x-y=0

gilt.  Eine Lösung dieses Gleichungssystems ist (x;y)=(π/4;π/4).

Es lässt sich leicht nachweisen, dass auch (π/4+2kπ;π/4+2nπ) für beliebige ganze Tahlen k bzw. n Hochpunkte sind.

Da es unendlich viele ganze Zahlen k und n gibt, gibt es auch unendlich viele Hochpunkte.

Ebenso lassen sich unendlich viele Tiefpunkte finden.