Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion
\( g(x, y, z)=e^{z} \cdot \sin (2 x) \cdot \cos y, \quad x, y \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad z \in \mathbb{R} \)
a) Der Gradient lautet
\( \nabla g(x, y, z)=e^{2}\left(\begin{array}{c} 2 \cos (2 x) \cos y \\ -\sin (2 x) \sin y \\ \sin (2 x) \cos y \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie alle(!) stationären Punkte von \( g(x, y, z) \).
b) Die Hessematrix lautet
\( H_{g}(x, y, z)=e^{2}\left(\begin{array}{ccc} -4 \sin (2 x) \cos y & -2 \cos (2 x) \sin y & 2 \cos (2 x) \cos y \\ -2 \cos (2 x) \sin y & -\sin (2 x) \cos y & -\sin (2 x) \sin y \\ 2 \cos (2 x) \cos y & -\sin (2 x) \sin y & \sin (2 x) \cos y \end{array}\right) \)
Stellen Sie fest, bei welchen stationären Punkten es sich um Maxima oder Minima handelt.
c) Berechnen Sie für \( g(x, y, z) \) das Taylorpolynom 2. Grades um den Entwicklungspunkt \( \left(\frac{\pi}{4}, 0,0\right) \).
Problem/Ansatz:
Ich komme auf die beiden stationären Punkte P1 = (0; pi/2; z) und P2 = (pi/2; pi/2; z) mit z e ℝ.
Wenn ich diese in die Hessematrix einsetze komme ich für P1 auf x12 = -2 und x21 = -2, der Rest 0, bei P2 das gleiche mit+2
Das heißt dann doch das die Determinanten 0 sind, wie kann man so dann die Definitheit/Extremstellenart herausfinden?
