Aufgabe:
\( c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi}|\sin x| e^{-i n x} d x \)
Mit \( e^{-i n(x-\pi)}=(-1)^{n} e^{-i n x} \) folgt \( c_{n}=0 \) für ungerades \( \mathrm{n} \).
\( \begin{aligned} c_{2 k} &=\frac{1}{\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \sin x e^{-2 k i x} d x=\\ &=\frac{1}{2 \pi i} \int \limits_{0}^{\pi}\left(e^{i x}-e^{-i x}\right) e^{-2 k i x} d x=\\ &=\frac{1}{2 \pi i}\left(\left.\frac{1}{-i(2 k-1)} e^{-i(2 k-1) x}\right|_{0} ^{\pi}-\left.\frac{1}{-i(2 k+1)} e^{-i(2 k+1) x}\right|_{0} ^{\pi}\right) \\ &=-\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{1}{k^{2}-\frac{1}{4}} \end{aligned} \)
Also:
\( |\sin x|=-\frac{1}{2 \pi} \sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{e^{2 k i x}}{k^{2}-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\pi}\left(2-\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos 2 k x}{k^{2}-\frac{1}{4}}\right) \)
Komplexe Fourierreihe
Problem/Ansatz:
Hallo, kann mir jemand eventuell erklären, wie man auf den ersten Schritt gekommen ist, Also C_2k ? Zu bestimmen war die fourierreihe der Funktion f(x) = |sin(x)| . Die nächsten Schritte verstehe ich. Bloß den Schritt von Cn zu C2k verstehe ich nicht so ganz. Bzw. eigentlich bloß weshalb da jetzt e^(-2kix) steht und nicht e^(-inx). Danke für eure Hilfe.
