Bestimmen Sie G idF .

Question

Aufgabe:

Aufgabe H 39. Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

Seien v1 = (−1, 0, 1, 0)⊺ , v2 = (1, 1, 0, 0)⊺ , v3 = (1, 0, 0, −1)⊺ und U = L (v1, v2, v3).
(a) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis F : f1, f2, f3 von U derart, dass L (f1) =
L (v1), L (f1, f2) = L (v1, v2) und L (f1, f2, f3) = L (v1, v2, v3) ist.
(b) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis G : g1, g2, g3 von U derart, dass L (g1) =
L (v1), L (g1, g2) = L (v1, v3) und L (g1, g2, g3) = L (v1, v2, v3) ist.
(c) Ist F idG orthogonal? Bestimmen Sie G idF .
(d) Finden Sie ein f4 ∈ R4 so, dass F ′ : f1, f2, f3, f4 eine Orthonormalbasis von R4 ist

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand drüber schauen, ob das in eine richtige Richtung geht? LG

\( \begin{array}{l}\vec{w}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5 \\ 0 \\ -0,5 \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,8 \\ 0,5 \\ \frac{6}{6}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0,167 \\ 0,333 \\ -0,167 \\ 0\end{array}\right) \\ w_{3}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ 0 \\ -5 \\ -9\end{array}\right)\left|\begin{array}{cc}0,333 \\ -0,333 \\ 0,667 \\ -1\end{array}\right| \\ f_{3}=\left(\begin{array}{cccc}0, & 2 & 8 & 9 \\ -0, & 2 & 8 & 9 \\ 0, & 2 & 8 & 9 \\ -6, & 8 & 6 & 6\end{array}\right) \\\end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\vec{w}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,5 \\ 0 \\ -0,5 \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0,8 \\ 0,5 \\ \frac{6}{6}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0,167 \\ 0,333 \\ -0,167 \\ 0\end{array}\right) \\ w_{3}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ 0 \\ -5 \\ -9\end{array}\right)\left|\begin{array}{cc}0,333 \\ -0,333 \\ 0,667 \\ -1\end{array}\right| \\ f_{3}=\left(\begin{array}{cccc}0, & 2 & 8 & 9 \\ -0, & 2 & 8 & 9 \\ 0, & 2 & 8 & 9 \\ -6, & 8 & 6 & 6\end{array}\right) \\\end{array} \)

Comments

Hallo

ist mit L(v1,v2) die lineare Hülle von v2,v2 gemeint?

Was du gemacht hast verstehe ich nicht. due suchst doch 3 orthonormale Vektoren f1,f2,f3 die den Unterraum U aufspannen , Dazu sollst du Gram Schmidt verwenden.

was soll dabei w3 sein, was die Matrix f3?

Fang damit an v1 zu normieren, das gibt f1

dann verwende Gram Schmidt für f2 usw.

lul

Answer 1

In Anlehnung an die Bezeichnungen bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

sind die gegebenen v1, v2, v3 dort die w1, w2, w3.

und du sollst z.B. bei a) bestimmen f1, f2, f3 . Das wären bei

der Wikipediaseite dort v1, v2, v3.

Also als erstes (mit deinen Bezeichnugen)

\( f_1 = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{\begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix}}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Und weil f1 ein Vielfaches von v1 ist, ist L (f1) =L (v1) erfüllt.

Weiter geht es mit der Bestimmung von f2 (oder in Anlehnung an

die Wikipediaseite ) erst mal f2' :

\( f_2' =v_2 - <f_1,v_2> \cdot f_1 \)

\(=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} -< \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}> \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

\(=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} -( -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

\(=\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} +\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Jetzt noch normieren gibt \( f_2 =  \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Und L (f1, f2) = L (v1, v2) ist erfüllt, weil f1 und f2 linear unabh. und

beide Linearkombinationen von v1 und v2 sind.

Weiter mit f3 ' also

\( f_3' =v_3 - <f_1,v_3> \cdot f_1 - <f_2,v_3> \cdot f_2 \)

Das Ergebnis dann normieren und du hast es.

Bei b) gehst du entsprechend vor. Beginnst mit g1 durch

Normieren von v1 und nimmst dann an Stelle von v2 als

nächstes v3 und dann als letztes v2.