Du hast bisher die Eigenschaft der Polare noch gar nicht benutzt:
\(\displaystyle U^0 = \{v^\star \in V^\star \, : \, \sup_{u\in U}|v^\star(u)| \leq 1\} \quad (1)\)
Außerdem ist dein folgender Ansatz nicht korrekt:
\( \rho_{\phi}(w) = \phi(\vec v , \vec w) = 0 \)
Korrekt muss es lauten:
\(\rho_{\phi}(w)(v) := \phi(w,v)\) für alle \(v\in V \quad (2)\)
Der Rieszsche Iomorphismus sagt, dass jedes lineare Funktional \(w^\star \in V^\star\) eineindeutig durch ein \(w \in V\) dargestellt werden kann, sodass
\(w^\star = \rho_{\phi}(w) = \phi(w , \cdot) \quad (3)\)
Jetzt muss man nur nachrechnen:
Teil 1: \( \rho_{\phi}(U^{\bot}) \subseteq U^0 \)
\(w \in U^\perp \Rightarrow \phi(w,u) = 0\) für alle \(u\in U\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sup_{u\in U}|\rho_\phi(w)(u)| = 0 \leq 1\Rightarrow \rho_\phi(w) \in U^0\)
Teil 2: \( U^0 \subseteq \rho_{\phi}(U^{\bot}) \) - etwas fummeliger
\(w^\star \in U^0 \stackrel{(3) Riesz }{\Rightarrow} \exists w \in V\) mit \(w^\star = \rho_\phi(w) = \phi(w,\cdot)\)
Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass \(w\in U^\perp\). Dazu brauchen wir die Polareneigenschaft:
Wenn \(U = \{0\}\) ist, gibt es nichts zu zeigen. Sei also
\(u\in U,\, u \neq 0 \Rightarrow \forall t> 0\, :\, tu \in U \)
\(\displaystyle \stackrel{Polare}{\Rightarrow}|\rho_\phi(w)(tu)|=t|\phi(w,u)| \leq 1\) für alle \(t>0\)
\(\Rightarrow \phi(w,u)= 0 \Rightarrow w\in U^\perp\)
Damit sind wir fertig.
