Orthonormalbasis eines Unterraums und des orthogonalen Komplements sowie Darstellungsmatrix bestimmen

Question

Gegeben sind die Vektoren v₁=(1,1,1)^t, v₂=(1,1,0)^t, v₃=(1,0,0)^t.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraum U:=⟨v₁⟩⊆ℝ³ sowie eine des zugehörigen orthogonalen Komplements U'.
b) Gegeben ist f: ℝ^3→ℝ³ durch f|_U=-id_U und  f|_U'=2*id_U' . Zu beweisen ist, dass f selbstadjungiert ist. Außerdem soll man die Darstellungmatix A von f bezüglich der Standardbasis bestimmen. Wieso ist A symmetrisch (theoretische Begründung)?

Meine Lösungen wären:
a) ONB von U= (v₁) und ONB von U'=(v₃, (0,1,0)^t)
b) zz.: f=f*
   -id_U=-(id_U)=-(id_U*)=-id_U*  --> f|_U=f|_U*
   2id_U=2(id_U)=2(id_U*)=2id_U* -->f|_U'=f|_U'*
    da U und U' eine direkte Summe bilden ist f=f*

bei der Darstellungsmatrix bin ich unsicher, da ich nicht weiß, ob man e1,e2,e3 in U oder U' einordnet. Ich hätte jetzt gesagt, e1 und e2 wären in U' und e3 in U. Könnt ihr mir da weiterhelfen? Sind meine anderen Lösungen bisher richtig? Außerdem habe ich leider keinen Ansatz zur Symmetrie von A :/

Answer 1

Meine Lösungen wären:
a) ONB von U= (v₁)  

v1 ist nicht normiert, muss  (1/√3)*v1 heißen.

und ONB von U'=(v₃, (0,1,0)^t) 

Das orth. Kompl. sind alle diejenigen, die mit allen

von U das Skalarprodukt 0 haben.

Das haben aber weder v3 noch (0,1,0)^t

Senkrecht auf v1 wäre etwa ( -1 ; 1 ; 0 ) ^t  .

Und der normiert gibt   (1/√3)* ( -1 ; 1 ; 0 ) ^t 

Und da das orth. Komp. 2-dim ist,

brauchst du noch einen, der auf   (1/√3)*v1

und auf   (1/√3)* ( -1 ; 1 ; 0 ) ^t senkrecht ist.

also etwa ( 1 ; 1 ; -2 )^t .

Und den noch normieren gibt

  (1/√6)* ( 1 ; 1 ; -2 )^t .

Comments

Das habe ich verstanden. Ordne ich (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) in U oder U' ein? Diese müssten doch dann alle in U eingeordnet werden, weil diese nicht orthogonal zu (1,1,1) sind oder?

Weißt du außerdem, wieso die Darstellungsmatrix von f theoretisch begründet symmetrisch sein müsste?

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Um die Matrix bzgl. der Stand.basis zu bestimmen, brauchst du die

Bilder der Basisvektoren.

Dazu musst du die Basisvektoren erst mal durch Basen von U und U '

ausdrücken. Etwa (muss ja keine ONB sein

mit (1;1;1) und ( -1 ; 1 ;0 ) und ( 1 ; 1 ; -2 ) .

Dann ist z.B.  e3 =   0,5* (1;1;1)  - 0,5*  ( 1 ; 1 ; -2 )

und die Bilder von (1;1;1)  und   ( 1 ; 1 ; -2 )kennst du ja wegen

f|_U=-id_U und  f|_U'=2*id_U' .

ist f(1;1;1) = - (1;1;1) 

und f ( ( 1 ; 1 ; -2 ) = 2* ( 1 ; 1 ; -2 ) .

Also ist  f( e3 ) = 0,5* (- 1;- 1; - 1)  - 0,5*  ( 2 ; 2 ; -4 )= ( -1,5 ; -1,5 ; 1,5 )

Also ist ( -1,5 ; -1,5 ; 1,5 )^t die 3. Spalte der Darstellungsmatrix.

Und für e1 und e2 entsprechend.

Und selbstadjungiert --- Symmetrie findest du z.B. bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstadjungierte_Matrix