b) Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements (b3)⊥ von b3.

Question

Aufgabe:

Gute,

Gegeben Basis von ℝ⁴:

$$B:=\{ b_{1}:=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} ,b_{2}:=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{pmatrix} ,b_{3}:=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} ,b_{4}:=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \}$$

b) Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements (b₃)⊥ von b₃.

Problem/Ansatz:

Erstmal grundsätzlich: b₃ hat die Dimension 1? Dementsprechend muss meine Basis die Dimension 3 haben, wegen 4-1=3?

Ich suche jetzt also eine Basis aus 3 Vektoren, die alle senkrecht zu b₃ stehen, wenn ich das mit dem Komplement richtig verstanden habe?

$$=>\  0x_{1}+1x_{2}+1x_{3}+0x_{4}=0$$

$$=>\  x_{1}=t,\  x_{3}=s,\  x_{4}=r,\  x_{2}=-s$$

$$\  Basis=\{ t\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} :t,s,r\in \mathbb{R} \}$$

Stimmt das so?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Du suchst eine orthogonale Basis für alle Vektoren \(\vec x\), die orthogonal zu \(\vec b_3\) sind.$$0\stackrel!=\vec b_3\cdot\vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_2+x_3\implies x_2=-x_3$$

Damit kannst du alle diese Vektoren \(\vec x\) angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-x_3\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die erhaltenen 3 Basisvektoren sind bereits paarweise orthogonal.

Comments

Hey :)

Vielen Dank!

Kann man den letzten Vektor auch durch (1,0,0,1) ersetzen und wie ist das zu verstehen?

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Die Werte für \(x_1\) und \(x_4\) können unabhängig voneinander gewählt weden. Mit dem Vektor \((1;0;0;1)\) würdest du sie aber beide aneinander koppeln.

Wenn du \((1;0;0;1)\) als einen Basisvektor wählst, musst du auch \((1;0;0;0)\) oder \((0;0;0;1)\) als Basivektor zulassen, damit \(x_1\) und \(x_4\) voneinander weiterhin entkoppelt sind.

Aber wieso willst du \((1;0;0;1)\) wählen? Damit geht dir doch die Orthogonalität verloren.

Answer 2

Hallo

dass das Komplement von b3 3 d ist ist richtig, aber nicht b3 sondern der UVR der von b3 aufgespannt ist hat die Dimension 1, und damit der komplementäre die Dimension 3

Gruß lul

Comments

Okay, danke! Der letzte Vektor meiner kompl. Basis ist in einer anderen Lösung (1,0,0,1) und nicht (0,0,0,1).

Wie ist das zu verstehen?

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Hallo

dein erster und 2 Der Vektor addiert ergeben (1,0,0,1) deshalb kann man einen der beiden dadurch ersetzen, der UVR ist ja der Spann der 3 Vektoren und du kannst mit (1,0,0,1) und den 2 anderen ja auch deine wieder erzeugen.Gruß lul