Orthogonale Endormorphismen beliebiger euklidischer Vektorräume

Question

Wenn ich einen beliebigen euklidischen Vektorraum haben mit beliebigem Skalarprodukt dann ist es nicht zwingend so, dass für einen orthogonalen Endomorphismus eine Basis existiert so dass die Abbildungsmatrix ohrtogonal (Also zB dass die Spalten eine ONB vom R^n bilden) ist oder? Dies würde nur für den R^n mit dem Standardskalarprodukt gelten oder?

Comments

Was meinst Du mit "beliebig"? Auch nicht-endlich-dimensional?

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Sorry, ich meinte endlich-dimensional

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Das Standardskalarprodukt hat doch keine besonderen Eigenschaften als alle anderen.

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Ja aber eine orthogonale Matrix ist ja z.B mitunter dadurch definiert dass die Spalten (oder Zeilen, ist ja egal) eine Orthonormalbasis des R^n unter dem Standardskalarprodukt bilden. Daraus folgt, dass für einen orthogonalen endomorphismus vom R^n Standard , eine Abbildungsmatrix definiert durch eine ONB natürlich orthogonal ist. Jetzt war meine Frage ob das für beliebige euklidische VRs und deren orthogonalen Abbildungen (unter einem beliebigen Skalarprodukt) das gleiche erfüllen also dass die Spalten der Abbildungsmatrix dann unter dem Standardskalarprodukt des R^n auch eine Basis bilden)

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Ja, wenn \(L:V\to V\) orthonormal bezüglich eines Skalarprodukts auf V ist und B eine Orthomormalbasis in V ist, dann ist die zugeordnete Matrix orthonormal bezüglich des Standard-Skalsrprodukts auf \(\R^n\)

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ok ja nach kurz herumspielen, kann man es auch schnell beweisen mit A^t A = I_n. danke