V ist ein euklidischer Raum und B ist Basis von V. f ist ein Endomorphismus. Beweisen Sie die Äquivalenz von : f ist

Question

V ist ein euklidischer Vektorraum und B = { v₁ , ... , v_n } ist Basis von V. f ist ein Endomorphismus. Beweisen Sie die Äquivalenz von :

f ist orthogonal ↔ ⟨ v_i , v_j ⟩ = ⟨ f(v_i) , f(v_j) ⟩

⟨ , ⟩ ist das Skalarprodukt im euklidischen Raum

f ist orthogonal: Ist  $$\lambda$$ ein Eigenwert von f , dann ist $$ \lambda² = 1 $$

Sei $$\left\{ { v }_{ 1 }\quad ,\quad ...\quad ,\quad { v }_{ n } \right\} $$ eine Orthonormalbasis von V bestehend aus Eigenvektoren von f.

Diese Basis gibt es, denn f ist ein orthogonaler Endomorphismus und $$dim(V)= n\quad <\quad \infty $$.

Es gilt:

$$\left< { v }_{ i }\quad ,\quad { v }_{ j } \right> \quad =\quad \lambda ²\left< { v }_{ i }\quad ,\quad { v }_{ j } \right> \quad =\quad \left< { \lambda v }_{ i }\quad ,\quad { \lambda v }_{ j } \right> \quad =\quad \left< f({ v }_{ i })\quad ,\quad f{ (v }_{ j }) \right>$$ für alle $$1\quad \le \quad i,j\quad \le \quad n$$

ist das richtig und ausreichend für die Richtung ⇒ ? wie müsste man das rückwärts zeigen?

Comments

ist es problematisch dass

$$\left< { v }_{ i }\quad ,\quad { v }_{ j } \right> \quad =\quad \lambda _{ i }{ \lambda  }_{ j }\left< { v }_{ i }\quad ,\quad { v }_{ j } \right> \quad =\quad \left< { { \lambda  }_{ i }v }_{ i }\quad ,\quad { { \lambda  }_{ j }v }_{ j } \right> \quad =\quad \left< f({ v }_{ i })\quad ,\quad f{ (v }_{ j }) \right> $$

dann würde ja die gleichung wenn $$\lambda _{ i }{ \lambda  }_{ j }= -1$$ nicht mehr funktionieren

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oder kann man das mit dem Skalarprodukt erklären dass es positiv definit ist, aber dann müssten doch alle Eigenwerte von f entweder 1 oder -1 sein?

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dann habe ich noch überlegt wenn ich orthogonale Vektoren habe aus der Orthonormalbasis, dann wäre ja ⟨ v_i , v_j ⟩ = 0 oder?

deswegen vermute ich dass es anders zu lösen ist..

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Orthogonale Abbildungen muessen gar keinen Eigenwert haben. Nimm z.B. eine Drehung um 90° in 2D. Wie ist eigentlich eure Definition für orthogonale Abbildung?

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Definition: Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus f : V → V heißt orthogonal, wenn ⟨f(v) , f(w)⟩ = ⟨v , w⟩ für alle v,w ∈ V

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Also bekommst du die Hinrichtung geschenkt. Für die Rückrichtung stelle zwei beliebige Vektoren v,w als Linearkombination der Basis dar und untersuche dann ob <v,w> = <f(v),f(w)> ist. Ziehe dabei das Skalarprodukt auseinander, bis du nur noch einzelne Basisvektoren im Skalarprodukt hast, wende dann für diese die Eigenschaft

⟨ vi , vj ⟩ = ⟨ f(vi) , f(vj) ⟩

an und füge es anschließend wieder zusammen bis du auf 

<v,w> = ... = <f(v),f(w)>

kommst.