Euklidischer Vektorraum, wenn Skalarprodukt Integral von 0 bis 1?

Question

wie zeigt man, dass der VR V der reellen Polynome von Grad ≤ 2 durch

                  ⟨.,.⟩: V x V → ℝ,   ⟨f,g⟩ ↦ ∫₀ ¹  f(x)g(x) dx

zu einem eukl. VR wird ?

Answer 1

Musst du nur prüfen, ob die Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt, als da sind bilinear , symmetrisch und pos. Definit.

also etwa = + also Intger. über (f1+f2)*g = Intger. über f1*g + f2*g = Integr über f1*g + Integr über f2*g also stimmt's.

ebenso = a * sieht man, da a aus dem Int. rausgezogen werden kann.

symmetrisch na klar Int über f*g = Int über g*f

pos. def. Int über f*f = Int über eine nirgends negative Funktion Und das ist natürlich nie neagativ.