Identität beweisen / V euklidischer Vektorraum

Question

Es sei \( V \) ein euklidischer Vektorraum, \( x, y \in V \) und \( \alpha \) der Winkel zwischen \( x \) und \( y \). Beweisen Sie die Identität:
\( |x-y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}-2|x||y| \cos \alpha . \)

Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen? Danke.

Comments

Wie habt ihr denn den Winkel zwischen Vektoren definiert ?

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du doch eigentlich nur die Beziehung$$\vec x\cdot\vec y=\|x\|\,\|y\|\cdot\cos\angle(\vec x;\vec y)$$für das Skalarprodukt zu verwenden:$$\left\|\vec x-\vec y\right\|^2=(\vec x-\vec y)(\vec x-\vec y)=\vec x^2-2\vec x\,\vec y+\vec y^2=\left\|\vec x\right\|^2-2\|x\|\,\|y\|\cos\angle(\vec x;\vec y)+\left\|\vec y\right\|^2$$