V ein euklidischer Vektorraum: Aussagen beweisen und eine geometrische Interpretation geben

Question

Aufgabe:

Es seien \( V \) ein euklidischer Vektorraum und \( a, b, c \in V \backslash\{0\} \). Beweisen Sie die folgenden Aussagen und geben Sie jeweils eine geometrische Interpretation (mit Skizze):
(a) \( |a+b|^{2}+|a-b|^{2}=2\left(|a|^{2}+|b|^{2}\right) \)
(b) \( |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a| \cdot|b| \cdot \cos \angle(a, b) \)
(c) \( |a-b| \cdot|c| \leq|b-c| \cdot|a|+|c-a| \cdot|b| \)

Problem/Ansatz:

a) (Parallelogramm) und b) konnte ich

leider komme ich bei c) nicht weiter könnt ihr mir dabei helfen?

Answer 1

Hallo :-)

Für c) könntest du folgende Identität ausnutzen:

\(\left \| \frac{x}{\|x\|^2}-\frac{y}{\|y\|^2}\right \|=\frac{\|x-y\|}{\|x\|\cdot \|y\|}\), \(x,y\in V\setminus \{0\}\)