Wirklich interessant ist nur die Behauptung:
\(\Delta\) Normalteiler (normale Untergruppe) in \(G\times G\;\Rightarrow \; G\) abelsch.
Sei \(\Delta\) ein Normalteiler und \(h\in G\). Dann gilt
\((h,e)\Delta(h^{-1},e)\subseteq \Delta\). Für beliebiges \(g\in G\) also
\((h,e)(g,g)(h^{-1},e)=(hgh^{-1},g)\in \Delta\), d.h. es gibt \(g'\in G\)
mit \((hgh^{-1},g)=(g',g')\), also \(g'=g\) und somit \(hgh^{-1}=g\),
d.h. \(hg=gh\). Da \(g\) und \(h\) beliebig in \(G\) sind, folgt, dass
\(G\) abelsch ist.
