Untergruppe des direkten Produktes nachweisen

Question

Aufgabe:

G ist eine Gruppe. Gezeigt werden soll,

(1) dass die Diagonale Δ = {(g,g) | g∈G} eine Untergruppe des direkten Produkts G x G ist und

(2) dass Δ  genau dann eine normale Untergruppe von G x G ist, wenn G abelsch ist.

Ich habe nämlich keine Ahnung, wie ich das beweisen soll.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wirklich interessant ist nur die Behauptung:

\(\Delta\) Normalteiler (normale Untergruppe) in \(G\times G\;\Rightarrow \; G\) abelsch.

Sei \(\Delta\) ein Normalteiler und \(h\in G\). Dann gilt

\((h,e)\Delta(h^{-1},e)\subseteq \Delta\). Für beliebiges \(g\in G\) also

\((h,e)(g,g)(h^{-1},e)=(hgh^{-1},g)\in \Delta\), d.h. es gibt \(g'\in G\)

mit \((hgh^{-1},g)=(g',g')\), also \(g'=g\) und somit \(hgh^{-1}=g\),

d.h. \(hg=gh\). Da \(g\) und \(h\) beliebig in \(G\) sind, folgt, dass

\(G\) abelsch ist.