Beweis zur direkten Summe zweier Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie Satz 2.2.16 aus der Vorlesung: Sei V ein Vektorraum und

U₁, U₂ ≤ V .
Zeigen Sie: Es gilt V = U₁ ⊕ U₂ genau dann, wenn für alle v ∈ V eindeutige
u₁ ∈ U₁, u₂ ∈ U₂ existieren mit v = u₁ + u₂.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aupgabe 13.5 sei \( V \mathbb{K}-v_{R} \) und \( u_{1}, u_{2} \leq V \) z.z. ist: \( v=u_{1} \oplus u_{2} \Leftrightarrow \forall v \in V \) aindentige
\( u_{1} \in U_{11} u_{2} \in U_{2} \)
\( \Rightarrow " \) sei \( v=u_{1} \oplus u_{2} \), d.h. dan \( v=u_{1}+u_{2} \) mit \( u_{1} \cap u_{2}=\{0\} \)
exishicen mit \( v=u_{1}+u_{2} \)
sei num \( v \in V \) beliebig, d.h. es existiert ein \( u_{1} \in u_{1} \) und \( u_{2} \in u_{2} \) mit \( v=u_{1}+u_{2} \) Angenommen es gäbe ein weiteres \( u_{1}^{\prime} \in u_{1} \) und \( u_{2}^{\prime} \in u_{2} \) mit \( u_{1}^{\prime}+u_{2}=v \)
Dam ist: \( \quad u_{1}+u_{2}=u_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime} \Rightarrow u_{1}-u_{1}^{\prime}=u_{2}^{\prime}-u_{2} \)
Da \( u_{1}, u_{2} \leq V \) gilt also \( u_{1}-u_{1}^{\prime} \in u_{1} \) und \( u_{2}^{\prime}-u_{2} \in u_{2} \)
dann ist abes anch \( u_{1}-u_{1}^{\prime} \in u_{2} \) und \( u_{2}^{\prime}-u_{2} \in u_{1} \) womit
\( u_{1}-u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}-u_{2} \in u_{1} \cap u_{2} \), aber somit wäre \( u_{1} \cap u_{2} \neq\{0\} \) also widesspruch
in Annalme deminach \( u_{1}=u_{1}^{\prime} \) und \( u_{2}=u_{2}^{\prime} \), sodan fü \( \forall v \in V \quad u_{1} \in U_{1} \) und \( u_{2} \in U_{2} \) mit \( v=u_{1}+u_{2} \) eindentigsind
\( "=" \) sei \( \forall v \in V \quad v=u_{1}+u_{2} \) mit eindentigen \( u_{1} \in U_{1} \) und \( u_{2} \in U_{2} \quad z \cdot z \) ist num \( (1) \quad V=U_{1}+U_{2} \) und
(2) \( u_{1} \cap u_{2}=\{0\} \)
(1) Da \( \forall v \in V \quad v=u_{1}+u_{2} \) ist, mit \( u_{1} \in U_{2} \) and \( u_{2} \in U_{2} \) eindentig, damn wird jedes \( v \in V \) eive summe aus \( u_{1} \in U \) und eiven \( u_{2} \in U_{2} \) ist, womit \( V=u_{1}+U_{2} \)
(2) Sei num \( w \in U_{1} \cap V_{2} \) mitw \( w \), damn ist \( w=w+0 \) mit \( w \in U_{1} \) und \( 0 \in U_{2} \). Da aber die Dosstell ung von \( w \) als summe eindentig sein mun, ist \( \omega \) auch \( \omega=0+\omega \) mit \( 0 \in u_{1} \) und \( w \in u_{2} \Rightarrow \) d.h. dan \( 0, w \in u_{1} \) und \( 0, w \in u_{2} \Rightarrow \) widerspruch in Annalime \( \Rightarrow u_{1} \cap u_{2}=\{0\} \)
\( \Rightarrow \) Da wir geseigr haben dan \( v=u_{1}+u_{2} \) und \( u_{1} \cap u_{2} \in\{0\} \) ist \( v=u_{1} \oplus u_{2} \)
\( \Rightarrow \) Acso \( \underset{v=u_{1}+u_{2}}{g_{l t}} v=u_{1} \oplus u_{2} g \cdot d \cdot w \forall v \in V \) eindeutige \( u_{1} \in u_{1}, u_{2} \in u_{2} \) existieren mit

Kann dieser Beweis so geschrieben werden oder ist dort irgendwo ein Fehler?

Answer 1

Hallo,

ja, das ist in Ordnung.

Gruß Mathhilf