Geben Sie das Konfidenzintervall des Ergebnisses des Instituts R an.

Question

Aufgabe:

In einem nicht genannten Land wurden vor den Wählen zwei Umfragen der Umfrageinstitute R. und S veröffentlicht. Beide kommen zu unterschiedlichen Ergebnissen bezüglich des Anteils an WählerInnen der Partei von Kanzler Lang. Das Institut R gibt an, dass bei einer Stichprobengröße von 2.000 Personen 36% die Partei von Kanzler Land wählen werden. Als Abweichung werden +/- 1 Prozentpunkte genannt:

n= 2000

p=0.36

e=0.1

a. Geben Sie das Konfidenzintervall des Ergebnisses des Instituts R an.

b. Mit welcher Sicherheit kann das Institut R diese Behauptung aufstellen? Hier suchen wir Z0. Z0 x \( p(1-p) / n = 0.01 \).

Ansatz/Problem:

Zu a) Ist hier die richtige Antwort [0,35,0,37]?

Zu b) Ist dann Z0 9.34?

Answer 1

Was soll denn e sein?

(a)

Da die Abweichung mit einem Prozentpunkt (=0.01) angegeben ist, ist dein Konfidenzintervall richtig.

(b)

Eine übliche Formel für ein Konfidenzintervall eines Anteils mit dem Konfidenzniveau \(1-\alpha\) ist

\(\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}2}\sqrt{\frac{\hat p (1-\hat p)}{n}}\)

Hierbei ist \(z_{1-\frac{\alpha}2}\) das \((1-\frac{\alpha}2)\)-Quantil der Standardnormalverteilung.

Du musst also zunächst \(z_{1-\frac{\alpha}2}\) bestimmen aus der Gleichung

\(0.01 = z_{1-\frac{\alpha}2}\sqrt{\frac{0.36 (1-0.36)}{2000}}\Rightarrow z_{1-\frac{\alpha}2} \approx 0.931695\)

Daraus musst du nun die statistische Sicherheit (das Konfidenzniveau) \(1-\alpha\) bestimmen. Die ergibt sich mit einer standardnormalverteilten Zufallsgröße \(Z\) aus der Formel

\(1-\alpha = P(z_{\frac{\alpha}2}  \leq Z \leq z_{1-\frac{\alpha}2} )\)

\(\approx P(-0.931695 \leq Z \leq 0.931695) \approx 65\%\)