Basis des Vektorraums - Beweis der direkten Summe

Question

Aufgabe:

Es sei β = { v₁, v₂, ....v_n } eine Basis des Vektorraumes V. Sei dann β₁ = {v₁, .... , v_k} und β₂ = {v_k+1, .... , v_n}.

Weiters sei U = ⟨β₁⟩ und sei W = ⟨β₂⟩. Dann gilt V = β₁ ⊕ β₂ . Beweis !

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass V = β₁ ⊕ β₂ die direkte Summe beschreibt, das heißt { (v₁,v₂) | v₁ ∈ β₁ , v₂ ∈ β₂ } = β₁ x β₂

Doch wie kann ich hierbei weiter vorgehen? 

Answer 1

V = β₁ ⊕ β₂

Ich vermute du meinst V = ⟨β₁⟩ ⊕ ⟨β₂⟩. Außerdem ist wohl die innere direkte Summe

        ⟨β₁⟩ ⊕ ⟨β₂⟩ = {v∈V | ∃w₁ ∈ ⟨β₁⟩ ∃w₂ ∈ ⟨β₂⟩: v = w₁+w₂}

gemeint.

Sei v ∈ V. Ferner sei v = ∑_i=1..n a_iv_i. Eine solche Darstellung existiert, weil β ein Erzeugendensystem von V ist. Dann ist

        v = ∑_i=1..k a_iv_i + ∑_i=k+1..n a_iv_i

wegen Assoziativgesetz. Dabei ist

        ∑_i=1..k a_iv_i ∈ ⟨β₁⟩

und

        ∑_i=k+1..n a_iv_i ∈ ⟨β₂⟩.

Ist andererseits

        w = ∑_i=1..k b_iv_i + ∑_i=k+1..n b_iv_i,

mit einem b_i ≠ a_i, dann muss w ≠ v sein, weil β linear unabhängig ist.

Comments

vielen Dank!

Damit ich das richtig verstehe: man muss also zeigen, dass für

innere direkte Summe dies gilt: 

        ⟨β1⟩ ⊕ ⟨β2⟩ = {v∈V | ∃w1 ∈ ⟨β1⟩ ∃w2 ∈ ⟨β2⟩: v = w1+w2}

weil β Basis von V und somit U ein Unterraum mit Basis β1 und W Unterraum mit Basis β2 gilt für v ∈ V      v = ∑i=1..n aivi  

(Stimmt die Erklärung? bzw. für was steht aivi, wie kommt man darauf?)

weil β ein Erzeugendensystem von V ist. Dann ist

        v = ∑i=1..k aivi + ∑i=k+1..n aivi  (ist dies die Definition vom Erzeugendensystem?)

weil β ein Erzeugendensystem von V ist. Dann ist

        v = ∑i=1..k aivi + ∑i=k+1..n aivi

Ist andererseits

        w = ∑i=1..k bivi + ∑i=k+1..n bivi,

mit einem bi ≠ ai, dann muss w ≠ v sein, weil β linear unabhängig ist.

Wie kommt man auf das rot geschriebene?

DANKE!

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Definition. Die Summe U+W zweier Untervektorräume von V ist definiert als
        U + W = {v∈V | ∃u ∈ U ∃w ∈ W: v = u+w}.

Definition. Die Summe U+W zweier Vektorräume heißt innere direkte Summe von V, wenn sich jedes v ∈ V eindeutig als Summe u+w eines u∈U und w∈W darstellen lässt; wenn also u und w durch v eindeutig bestimmt sind. Um kenntlich zu machen, dass es sich um eine innere direkte Summe handelt, und nicht nur um eine einfache Summe, wird U⊕W anstatt U+W geschrieben.

man muss also zeigen, dass für innere direkte Summe dies gilt:

Ja. Dabei steht rechts eine einfache Summe zweier Vektorräume. Links wird dagegen das Symbol für die innere direkte Summe verwendet. Insbesondere muss man also die Eindeutigkeit zeigen.

für was steht aivi

Die v_i sind die Element der Basis β. Die a_i sind Koordinaten von v bezüglich der Basis β.

ist dies die Definition vom Erzeugendensystem?

Nein, die steht eine Zeile vorher. Das ist die Anwendung des Assoziativgesetzes der Vektoraddition

Wie kommt man auf das rot geschriebene?

Damit wird die Eindeutigkeit der Darstellung von v gezeigt.

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Vielen Dank für deine Mühe!

Habe es endlich verstanden! Dankeschön.