Aufgabe:
Die Definition der direkten Summe kann auf endlich viele Untervektorräume erweitert werden. Hierzu
seien W1, . . . , Wk ⊂ V Untervektorräume eines Vektorraums V . Deren direkte Summe ist definiert als
V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk :⇔ (i): V = W1 + · · · + Wk
(ii) Für beliebige Vektoren w1 ∈ W1, . . . , wk ∈ Wk sind die von 0 verschiedenen Vektoren linear unabhängig.
Beweisen Sie, dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:
1. V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wk
2. Jedes v ∈ V ist eindeutig darstellbar als v = w1 + · · · + wk mit wi ∈ Wi
, i = 1, . . . , k.
3. V = W1 + · · · + Wk und: Ist w1 + · · · + wk = 0 für wi ∈ Wi
, so folgt wi = 0 ∀1 ≤ i ≤ k.
Problem/Ansatz:
Beweisen würde ich das jetzt über eine Implikationskette also 1 => 2, 2 => 3, 3 => 1.
Meine Frage bei 1 => 2:
Die 2 bedeutet ja nichts anderes als dass W1 bis Wk eine Basis von V sind. Wie beweise ich dies nun aber allgemein? Oder wäre es vielleicht sogar einfacher ¬ 2 => ¬ 1 zu zeigen? Würde mir sehr helfen, wenn mir da jemand einen ansatz bzw. eine idee geben könnte :)
