Aufgabe:
Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien v1, ...., vr, r ∈ ℕ, orthonormale Vektoren in V, d.h. <vi, vj>=δij i, j ∈ {1,...,r}. Zeigen Sie die Äquivalenzen der folgenden Aussagen:
(i) {v1,...,r} ist eine Basis von V
(ii) Für v ∈ V gilt: <v, vi>= 0 für i= 1,...,r ⇒v=0
(iii) Für alle v ∈ V gilt: v= \( \sum\limits_{i=1}^{r}{<v_i,v>v_i} \)
(iv) Für v ∈ V gilt: <v, w> = \( \sum\limits_{i=1}^{r}{<v,v_i><v_i,w>} \) für alle w ∈ V.
(v) Für alle v ∈ V gilt: ||v||2 =\( \sum\limits_{i=1}^{r}{|<v,v_i>|^2} \)
Mein Ansatz:
(i)→(ii)
Zu zeigen: v=0
Sei {v1,..,vr} eine Basis von V, weiterhin sei v∈ V gegeben mit >v,vi>=0 für alle i ∈{1,..,r}. Hieraus folgt: v∈ L(v1,...,vr)⊥= Lineare Hülle=V⊥={0}, d.h. v=0.
(ii)→(iii)
Es gelte ∀v∈V: (<v,vi>=0 ∀i ∈{1,..,r}⇒v=0
Bezeichnet "*"
Zu zeigen: ∀w∈V w=\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<w,v_i>v_i} \)
Sei w ∈V setze: v=w=\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<w,v_i>v_i} \)
Wir überprüfen ob "*" für w erfüllt ist.
Sei j ∈ {1,..,r}. Dann gilt: <w=\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<w, v_i>v_i,v_j>=0} \)
=<w,vi>-\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<<w,v_i<v_i,v_j>} \)
=<w,vj>-\( \sum\limits_{i=1}^{r}{<w,v_i><v_i,v_j>=0} \)
für 0= i≠j oder 1=i=j.
Bei (iii)→(iv) und von (iv)→(v) habe ich extreme Probleme. Ich gehe stark davon aus, dass ich das was ich nun bei (iii) gezeigt habe bei (iv) benutzen muss und das selbe dann auch im letzten Schritt. Allerdings sehe ich da keinen für mich sinnvollen Schritt. Wobei ich auch ehrlich sagen muss, dass ich bis zum hier gezeigten Punkt nicht 100% sicher bin ob das so stimmt und ganz durchsehen tue ich da auch noch nicht.
Wäre daher sehr dankbar, wenn man mir das mal zeigen könnte und verständlich erklären kann. Weil es könnte so Aussage von meinem Dozenten ja auch sein, dass die Reihenfolge anderes leichter wäre bzw. es muss ja nicht Äquivalent sein.
Ansonsten wünsche ich euch allen ein schönes Osterfest.
Freundliche Grüße
noxa
