Umkehraufgaben und Differenzierung

Question

Aufgabe:

 Eine Polynomfunktion 3.Ordnung hat

In P(0/3) ein Extremum.

Die Tangente in Q(2/1) ist parallel zur Geraden g: 4x-y+3=0

Problem/Ansatz:

Bestimme die Funktionsgleichung

Ich verstehe nicht ganz, was ich tun muss, und bin Ihnen sehr dankbar, wenn Sie Ihre Aktionen Schritt für Schritt ausführlich beschreiben.

Vielen Dank!

Answer 1

Eine Polynomfunktion 3.Ordnung:

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

In P(0/3) ein Extremum:

f(0) = d = 3

f'(0) = c = 0

Die Tangente in Q(2/1) ist parallel zur Geraden g: 4x-y+3=0:

f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1

f'(2) = 12a + 4b + c = 4

Da sich d = 3 und c = 0 schon ergeben haben, hast du nur noch die beiden Gleichungen

I. 8a + 4b + 2 * 0 + 3 = 1

    8a + 4b = -2

und

II.  12a + 4b + 0 = 4

      12a + 4b = 4

Gleichung I. - II. :

-4a = -6

a = 1.5

in II. einsetzen:

12 * 1.5 + 4b = 4

4b = - 14

b = -3.5

Deine Funktionsgleichung lautet somit:

f(x) = 1.5x^3 - 3.5x^2  + 3

Falls du etwas nicht verstanden hast, frag gerne nach

Answer 2

Eine Polynomfunktion 3.Ordnung hat
In P(0/3) ein Extremum.
Die Tangente in Q(2/1) ist parallel zur Geraden g: 4x-y+3=0
y = 4x + 3
Steigung = 4

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2b*x + c

f ( 0 ) = 3
f ´ ( 0 ) = 0
f ( 2 ) = 1
f ´ (2 ) = 4

ausgeschrieben z.B.
f ( 2 ) = a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 1

Es ergeben sich 4 Gleichunngen mit 4 Unbekannten