Polynomfunktionen-Umkehraufgaben

Question

ich habe ein problem bei folgender aufgabe:

Der graph einer Polynomfunktion vom grad 4 hat einen hochpunkt im koordinatenursprung. Im wendepunkt W(1/-1) ist die tangente parallel zur 1 achse. ermittle eine termdarstellung der funktion!

Also ich erwarte keinen kompletten lösungsweg, ein ansatz würde mir schon viel helfen.

LG und danke

Answer 1

Ansatz:  f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

Und die abcde berechnest du aus den Gleichungen

f(0)=0    (gibt e=0)

f ' (0) = 0   (gibt d=0)

f(1) = -1     wegen W

f ' ' (1) = 0    wegen "Wendepunkt"

f ' (1) = 0  wegen "parallel"

Wegen der ersten beiden Gleichungen

hast du eigentlich nur noch abc und die letzten

3 Gleichungen. Das sollte klappen.

Answer 2

Der graph einer Polynomfunktion vom grad 4

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

hat einen hochpunkt

Dazu braucht man die Ableitung:

        f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

im koordinatenursprung

Der Funktionsgraph verläuft also durch den Punkt (0 | 0):

(1)        f(0) = 0.

Außerdem ist dort die Ableitung 0 (wegen Hochpunkt)

(2)        f'(0) = 0.

Im wendepunkt

Dazu braucht man die zweite Ableitung:

        f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c.

W(1/-1)

Der Funktionsgraph verläuft also durch den Punkt (1 | -1):

(3)        f(1) = -1.

Außerdem ist dort die zweite Ableitung 0 (wegen Wendepunkt)

(4)        f''(1) = 0.

ist die tangente parallel zur 1 achse

Das heißt sie verläuft horizontal und hat somit die Steigung 0.

(5)        f'(1) = 0.

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (1), (2), (3), (4) und (5).