Gleichungssystem aufstellen (Umkehraufgaben-Differenzialrechnung)

Question

Aufgabe:

Das Profil des Aufsprunghanges kann durch eine Funktion 3. Grades beschrieben werden.
Bestimme die Funktionsgleichung, wenn folgende Informationen bekannt sind:
An der Stelle x = 0 hat die Funktion eine zur X-Achse parallele Tangente. Die Funktion
verläuft durch den Punkt P(20/100). In diesem Punkt fällt der Aufsprunghang unter dem Wink a = 36,87°. An der Stelle x = 100 beträgt der Wert der Krümmung 0,03.
- Stelle anhand dieser Informationen ein Gleichungssystem auf.
- Bestimme die Werte a, b, c und d und gib die Funktionsgleichung an.

kann mir hierbei wer helfen?

Problem/Ansatz:

f‘(0)=0

f(20)=100

f‘(20)=-0,75

f“(100)=0

f(100)=0,03

Comments

f(100)=0,03

Das ist nicht gegeben.

Es gilt indes:

f ''(100) =0,03

https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

Answer 1

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle. Die letzten beiden Bedingungen waren nur verkehrt.

Eigenschaften

f'(0) = 0
f(20) = 100
f'(20) = -0.75
f''(100) = 0.03

Gleichungssystem

c = 0
8000·a + 400·b + 20·c + d = 100
1200·a + 40·b + c = -3/4
600·a + 2·b = 3/100

Errechnete Funktion und Ableitung(en)

f(x) = 1/8000·x^3 - 0,0225·x^2 + 108
f'(x) = 3/8000·x² - 0,045·x
f''(x) = 3/4000·x - 0,045

Skizze

~plot~ 1/8000x^3-0,0225x^2+108;[[0|120|0|110]] ~plot~

Answer 2

Deine ersten drei Bedingungen stimmen, die anderen beiden nicht. Die vierte Bedingung lautet \(f''(100)=0.03\). Mehr brauchst Du auch nicht bei 4 Unbekannten. Nun stelle das LGS auf, Ansatz \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), und löse das.