Umkehraufgaben Kurvendiskussion: Polynom hat in O(0|0) einen Extrempunkt und in W (1|2/3) den Wendepunkt

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion

f: R -> R, y= ax³ + bx² + cx + d  hat in O (0|0) einen Extrempunkt und in W (1|2/3) den Wendepunkt. Ermittle die Funktionsgleichung von f.

Problem/Ansatz:

Wir haben in der Schule ein ähnliches Beispiel gerechnet. Leider habe ich das Thema noch nicht verstanden und kann daher nicht nachvollziehen wie wir auf das Ergebnis gekommen sind.

Jetzt versuche ich dieses Beispiel zu lösen habe aber wie schon gesagt keine Ahnung wie. (Leider zählt Mathematik nicht zu einer meiner Stärken:D)

Answer 1

y= ax³ + bx² + cx + d

y'=3ax²+2bx+c

y''=6ax+2b

O(0|0) führt zu d=0

W (1|2/3) führt zu (1) 2/3=a+b+c (d=0 wurde weggelassen).

 O (0|0) ist Extrempunkt

Einsetzen in die erste Ableitung führt zu c=0

W (1|2/3) ist Wendepunkt.

Einsetzen in die zweite Ableitung führt zu (2) 0=6a+2b

Löse das System:

(1) 2/3=a+b

(2) 0=6a+2b.

Answer 2

Hallo,

bei O (0|0) ist ein Extrempunkt.

Daraus ergeben sich zwei Aussagen:

$$1. f(0)=0⇒ \\ a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=0\\ d=0 $$

Also bleibt noch

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx\\f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

2. In einem Extrempunkt ist die Steigung = 0

$$f'(0)=0\\ ⇒ c=0$$

Nun haben wir noch

$$f(x)=ax^3+bx^2\\f'(x)=3ax^2+2bx\\f''(x)=6ax+2b$$

Wendepunkt bei W (1|\( \frac{2}{3} \)) liefert

$$f(1)=\frac{2}{3}⇒ a+b=\frac{2}{3}\\ \text{und}\\ f''(1)=0⇒ 6a+2b=0$$

Jetzt hasst du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst, um a und b zu ermittteln.

Gruß, Silvia

Comments

Dankeschön Silvia! Ihre Antwort hilft mir sehr für meine kommende Arbeit!

Answer 3

R -> R, y= ax^3 + bx^2 + cx + d  hat in O (0|0) einen Extrempunkt und in W (1|2/3) den Wendepunkt. Ermittle die Funktionsgleichung von f.

Die Aufgabe in Kürze
f ( x ) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f ´( x ) = 3ax^2 + 2bx + c
f ´´( x ) = 6ax + 2b

Aussagen
f ( 0 ) = 0  | Koordinaten
f´( 0 ) = 0 | Steigung
f ( 1 ) = 2/3 | Koordinaten
f ´´ ( 1 ) = 0 | Kümmung

Einsetzen
f ( 0 ) = a*0^3 + b*0^2 + c* + d = 0
f ´( 0 ) = 3a*0^2 + 2b*0 + c = 0
f ( 1 ) = a*1^3 + b*1^2 + c*1+ d = 2/3
f ´´( 1 ) = 6a*1 + 2*b = 0

a*0^3 + b*0^2 + c* + d = 0
3a*0^2 + 2b*0 + c = 0
a*1^3 + b*1^2 + c*1+ d = 2/3
6a*1 + 2*b = 0

d = 0
c = 0
a + b + d + c = 2/3  => a + b = 2/3
6a + 2b = 0

a= -1/3
b = 1

f ( x ) = -1/3 * x + 1 * x^2

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe!

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Gern geschehen.

Answer 4

\(y= ax^3 + bx^2 + cx + d\)  hat in \(O (0|0)\) einen Extrempunkt und in \(W (1|\frac{2}{3})\) den Wendepunkt. Ermittle die Funktionsgleichung von f.

Lösung über die Nullstellenform der kubischen Parabel

Ein Extrempunkt bei \(O (0|0)\)  bedeutet, dass dort ist eine doppelte Nullstelle ist .

\(f(x)=a \cdot x^2(x-N)\)

\(W (1|\frac{2}{3})\)

 \(f(1)=a(1-N)\)

\(a \cdot (1-N)=\frac{2}{3}\)  →  \(a =\frac{2}{3-3N}\)

\(f(x)=\frac{2}{3-3N} \cdot (x^3-x^2 \cdot N)\)

Wendepunkteigenschaft: \(f''(x_W)=0\)

\(f'(x)=\frac{2}{3-3N} \cdot (3x^2-2x\cdot N)\)

\(f''(x)=\frac{2}{3-3N} \cdot (6x-2\cdot N)\)

\(f''(1)=\frac{2}{3-3N} \cdot (6-2\cdot N)\)

\(\frac{2}{3-3N} \cdot (6-2\cdot N)=0\)

\(N=3\)       \(a =\frac{2}{3-3 \cdot 3 }=-\frac{1}{3}\)

\(f(x)=-\frac{1}{3} \cdot x^2(x-3)\)  Kann noch ausmultipliziert werden.