Eigenwertproblem: zeige, dass es nur nicht-reelle Eigenwerte besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass das Eigenwertproblem (nicht S-L-Problem)

y''''(x) = −λ y''(x)      für 0 < x < 1
y(0) = y'(0) = y''(0) = y(1) = 0

nur nicht-reelle Eigenwerte besitzt.

Problem/Ansatz:

Mein Problem sind hierbei die Randbedingungen. Ich wollte y''(x) durch v(x) substituieren und dann verschiedene Fälle für λ prüfen. Zuerst λ = 0:

v''(x) = −λ v(x)      für 0 < x < 1

Das ergibt dann v''(x)=0, was für v den Ansatz v(x)=Ax+B mit A,B = const liefert. A und B lassen sich allerdings nicht mit den Randbedingungen bestimmen. y''(0) = v(0) = 0 ist die einzige, die ich verwenden kann, richtig? Wenn ich versuche, v einmal zu integrieren, um auch y'(0) = 0 zu benutzen, kommt eine neue additive Konstante dazu. Für die habe ich wiederum auch nicht außreichend Randbedingungen. Soll ich v noch einmal integrieren? Muss ich einen anderen Ansatz wählen?

(Für den Fall λ ≠ 0 würde ich für v den Ansatz v(x) = C*e^iμx + D*e^-iμx wählen. Dabei habe ich auch wieder dasselbe Problem mit den Randbedingungen...)

Answer 1

Hallo,

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Comments

Erstmal danke für deine Mühe. Auf diese Lösung bin ich auch schon gekommen, bin mir aber ziemlich sicher, dass sie nicht die geforderte ist. In der Aufgabenstellung ist es nicht erwähnt, aber λ ist generell der Buchstabe für die Eigenwerte bei uns. Das würde hier also k = λ bedeuten und der Ansatz funktioniert dann nicht mehr