Zeigen Sie: A^{2} besitzt n reelle nichtpositive Eigenwerte (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten).

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(n, n) \) mit \( A^{T}=-A \).
a) Zeigen Sie: \( A^{2} \) besitzt \( n \) reelle nichtpositive Eigenwerte (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten).
Hinweis: \( A^{2}=-A \cdot(-A) \)
b) Zeigen Sie: Betrachtet man \( A \) als komplexe Matrix, so gilt \( \operatorname{Re} \lambda=0 \) für jeden Eigenwert \( \lambda \) von \( A \).
c) Folgern Sie: Für \( n \) ungerade ist \( A \) nicht invertierbar.

Comments

a) \( A^T A \) ist eine symmetrische positiv semidefinite Matrix

Insb \( A^2 = (-A)(-A) = - A^TA \) symmetrisch, negativ semidefinit.

b) Ist \( \lambda \) ein Eigenwert von \( A \), so ist \( \lambda^2 \) ein Eigenwert von \( A^2 \), insb. \( \lambda^2 \in \mathbb R \) und \( \lambda^2 \le 0 \)

Ist \( \lambda = x+\mathrm{i}y \), dann ist \( \lambda^2 = x^2 - y^2 + \mathrm{i}xy \). Aus den Bedingungen oben folgt \( x=0 \).

c) Wenn \( n \) ungerade, hat \( A \) einen reellen Eigenwert (Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer eine reelle Nullstelle). Nach b) ist dieser gleich 0.

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Danke, aber warum ist A^(T)A positiv semidefinit?

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\( v^TA^TAv = (Av)^T(Av) \ge 0 \)