Aloha :)
Gegeben ist uns folgende Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrr}15 & 0 & 12\\8 & -1 & 6\\-20 & 0 & -16\end{array}\right)$$
zu a) Bestimmung der Eigenwerte
Hier braucht man fast gar nichts zu rechnen. Die mittlere Spalte ist einfach zu auffälig. Es ist sofort klar, dass der Vektor \((0|1|0)\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \((-1)\) ist, denn:$$\left(\begin{array}{rrr}15 & 0 & 12\\8 & -1 & 6\\-20 & 0 & -16\end{array}\right)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}=(-1)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Damit haben wir den ersten Eigenwert \(\lambda_1=-1\) gefunden. Weiter wissen wir, dass die Summe aller Eigenwerte gleich der Summe der Hauptdiagonalen ist und, dass das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante ist:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\operatorname{diag}(A)\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=\operatorname{det}(A)$$Die Summe ist \((-2)\) und die Determinante nach der mittleren Spalte entwickelt ist \(0\). Da weiter \(\lambda_1=-1\) ist, muss für die beiden anderen Eigenwerte gelten:$$\lambda_2+\lambda_3=-1\quad;\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=0$$Einer der beiden weiteren Eigenwerte muss wegen des Satzes vom Nullprodukt also \(=0\) sein, sodass für den letzten nur noch \((-1)\) übrig bleibt. Damit lauten die Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=-1\quad;\quad\lambda_3=0$$Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes \((-1)\) ist offensichtlich gleich \(2\), die des Eigenwertes \(0\) ist gleich \(1\).
zu b) Bestimmung der Eigenvektoren
Einen Eigenvektor zum Eigenwert \((-1)\) haben wir schon, mal schauen, ob wir noch einen finden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline15-(-1) & 0 & 12 & 0\\8 & -1-(-1) & 6 & 0\\-20 & 0 & -16-(-1) & 0\\\hline16 & 0 & 12 & 0 &\colon4\\8 & 0 & 6 & 0 & \colon2\\-20 & 0 & -15 & 0 &\colon(-5)\\\hline4 & 0 & 3 & 0 & \\ 4 & 0 & 3 & 0 &\\4 & 0 & 3 & 0 &\end{array}$$Wir erhalten als Bestimmungsgleichung \(4x+3z=0\) bzw. \(z=-\frac43x\) und daraus alle Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac43x\end{pmatrix}=-\frac x3\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Neben dem Eigenvektor \((0|1|0)\), den wir schon kannten, finden wir also noch den Eigenvektor \((-3|0|4)\) zum Eigenwert \((-1)\). Damit ist auch die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes \((-1)\) gleich \(2\).
Den Eigenvektor zum Eigenwert \(0\), also den Kern der Matrix, finden wir analog:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline15-(0) & 0 & 12 & 0\\8 & -1-0 & 6 & 0\\-20 & 0 & -16-0 & 0\\\hline15 & 0 & 12 & 0 &\colon3\\8 & -1 & 6 & 0 & \\-20 & 0 & -16 & 0 &\colon(-4)\\\hline5 & 0 & 4 & 0 &\colon5\\8 & -1 & 6 & 0 &-\frac32Z_1 \\5 & 0 & 4 & 0 &-Z_1\\\hline1 & 0 & 0,8 & 0 &\\0,5 & -1 & 0 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Wir erhalten zwei Gleichungen:$$x+0,8z=0\quad;\quad0,5x-y=0\quad\text{bzw.}\quad z=-\frac54x\quad;\quad y=\frac12x$$Also sind die Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\\frac12x\\-\frac54x\end{pmatrix}=\frac x4\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}$$Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert \(0\) gleich \((4|2|-5)\), sodass der Eigenwert \(0\) die geometrische Vielfachheit \(1\) besitzt.
zu c) Die Matrix ist nicht invertierbar, weil ihre Determinante \(=0\) ist.
