Da \(A\mapsto SAS^{-1}\) ein innerer Automorphismus
der Algebra \(K^{N\times N}\) ist, also insbesondere der
Ringstruktur dieses Matrizenrings, gilt für das charakteristische
Polynom \(P\) von \(A\) und \(Q\) von \(SAS^{-1}\):
\(Q(X)=\det(X\cdot I_N-SAS^{-1})=\det(S(X\cdot I_N-A)S^{-1})=\)
\(=\det (S)\det(X\cdot I_N-A)\det(S)^{-1}=P(X)\).
\(P(SAS^{-1})=SP(A)S^{-1}=S\cdot 0\cdot S^{-1}=0\), d.h.
das charakteristische Polynom von \(A\) und \(SAS^{-1}\) sind gleich
und daher haben beide Matrizen dieselben Eigenwerte.
Durch den Basiswechsel, dem \(S\) entspricht, werden die Basen
der Eigenräume bijektiv aufeinander abgebildet, d.h.
die geometrischen Vielfachheiten sind dieselben.
