Bestimmen Sie zwei Vektoren

Question

Gegeben seien die Vektoren
\( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \)
Bestimmen Sie zwei Vektoren \( \vec{b}_{\|} \) und \( \vec{b}_{\perp}, \) welche die folgenden Bedingungen erfüllen:
\( \vec{b}_{\|} \| \vec{a} \wedge \vec{b}_{\perp} \perp \vec{b}_{\|} \quad \wedge \quad \vec{b}_{\|}+\vec{b}_{\perp}=\vec{b} \)
\( \vec{b}_{\|}= \)

Text erkannt:

Gegeben seien die Vektoren
$$ \vec{a}=\left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right], \quad \vec{b}=\left[\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]- $$
Bestimmen Sie zwei Vektoren \( \vec{b}_{\|} \) und \( \vec{b}_{\perp}, \) welche die folgenden Bedingungen erfüllen:
\( \vec{b}_{\|} \| \vec{a} \wedge \vec{b}_{\perp} \perp \vec{b}_{\|} \quad \wedge \quad \vec{b}_{\|}+\vec{b}_{\perp}=\vec{b} \)
\( \vec{b}_{\|}= \)

Answer 1

Hallo Lena,

Der Vektor \(\vec b_{\parallel}\) verläuft in Richtung \(\vec a\) und hat die Länge der Projektion von \(\vec b\) auf den Einheitsvektor von \(\vec a\). Folglich ist$$\vec b_{\parallel} = \left( \frac{\vec a}{|\vec a|} \cdot \vec b \right) \cdot \frac{\vec a}{|\vec a|} = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\vec a^2} \vec a $$und Deinem konkreten Fall$$\vec b_{\parallel} = \frac{\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} \cdot \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$und das \(\vec b_{\perp}\) ist dann schlicht$$\vec b_{\perp} = \vec b - \vec b_{\parallel} = \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 1\end{pmatrix} - \frac 13 \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} = \frac 13 \begin{pmatrix}-5\\ 7\\ 1\end{pmatrix}$$

Gruß Werner

Comments

vielen vielen dank

---

Brauche deine Hilfe(Frage).

---

Brauche deine Hilfe(Frage).

@user18697: reicht Dir der Kommentar von döschwo? Oder brauchst Du noch mehr Hilfe?

---

ist also die antwort

b parallel = (-1,-1,2) und b⊥=(-5,7,1) oder soll ich noch 1/3 mitrechnen

---

ist also die antwort b parallel = (-1,-1,2) und b⊥=(-5,7,1) oder soll ich noch 1/3 mitrechnen

Die Antwort ist $$b_\parallel = \frac 13 \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$Die Antwort war nicht$$b_\parallel \ne \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$Du kannst natürlich den Faktor \(1/3\) mit zwischen die Spalten ziehen. $$b_\parallel = \begin{pmatrix}-\frac 13\\ -\frac 13\\ \frac 23\end{pmatrix} = \frac 13 \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$ was der absolut identische Vektor ist. Ich fand es nur mit vorangestelltem \(\frac 13\) übersichtlicher. Und für \(b_\perp\) gilt natürlich dasselbe.

---

Hinweis: Ich nehme an, Du kannst in das komischen Tool aus Deiner Frage nur Dezimalzahlen eingeben kannst. Dann erkundige Dich bitte wie viele Stellen nach dem Komma für eine als korrekt erkannte Antwort notwendig sind. $$\vec b_\parallel \approx \begin{pmatrix}-0,3333\\ -0,3333\\ 0,6667\end{pmatrix}$$könnte dann die als richtig erkannte Antwort sein, wenn die notwendige Anzahl der Dezimalstellen nach dem Komma =4 ist.

Answer 2

Aus \(\vec{b}_{\|} \| \vec{a}  \) folgt \(\vec{b}_{\|} = k\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix}\)

Sei \(\vec{b}_{\perp}= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \).

Aus \(\vec{b}_{\perp} \perp \vec{b}_{\|} \quad \) folgt dann \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=0\), also

-x-y+2z=0.

Aus \(\quad \vec{b}_{\|}+\vec{b}_{\perp}=\vec{b} \) folgt dann \(k\cdot\begin{pmatrix} -1\\-1\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix}\).

Daraus folgen die Gleichungen

-k+x=-2

-k+y=2

2k+z=1

Damit hat die 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten x,y,z und k.

Löse das Gleichungssystem.

Comments

ich kann leider nicht die richtige Antwort rechnen